résolution d'équations

bonsoir j'ai une préoccupation sur un exercice que n'arrive pas à bien saisir et je demande votre aide.
résoudre les équations suivants:

x^(√x)=(√x)^x
2^x+2^(x+1)+2^(x+2)+....2^(x+n)=3^x+3^(x+1)+3^(x+2)+...3^(x+n)
a^x²<√(a)^(7x-3)

Bonjour,

Je fais le premier.

Il faut x > 0 pour que $x\sqrt{x}$ existe.

On prend le logarithmique des 2 membres ...

$ln(xx)=ln((x)x)ln(x^{\sqrt{x}}) = ln((\sqrt{x})^x)$
$x.ln(x)=x.ln(x)\sqrt{x}.ln(x) = x.ln(\sqrt{x})$
$x.ln(x)=12.x.ln(x)\sqrt{x}.ln(x) = \frac{1}{2}.x.ln(x)$
a) soit ln(x) = 0 $→\to$ x = 1
b) soit $x=x2\sqrt{x} = \frac{x}{2}$ $→\to$ x = 4

$S : {1 , 4 }$

Rebonjour,

Aide pour le 2

Remarquer que 2^x+2^(x+1)+2^(x+2)+....2^(x+n) est la somme de (n+1) termes en progression géométrique de raison 2 et de premier terme $2^x$

On a donc $2x+2x+1+2x+2+....+2x+n=2x.2n+1−12−12^x+2^{x+1}+2^{x+2}+....+2^{x+n} = 2^x.\frac{2^{n+1}-1}{2-1}$

Pareillement pour le second membre de l'équation ...

On peut alors trouver facilement la valeur de $(32)x(\frac{3}{2})^x$ en fonction de n

... et en déduire x en utilisant le logarithme.

@Black-Jack bonjour
je n'arrive pas à bien comprendre la deuxième question là

Rebonjour,

Pour la raison indiquée (sur somme de termes en progression géométrique)

On a aussi : $3x+3x+1+3x+2+...3x+n=3x.3n+1−13−1=3x.3n+1−123^x + 3^{x+1} + 3^{x+2} + ... 3^{x+n} = 3^x.\frac{3^{n+1}-1}{3-1} = 3^x.\frac{3^{n+1}-1}{2}$

L'équation devient alors :

$2x.2n+1−12−1=3x.3n+1−122^x.\frac{2^{n+1}-1}{2-1} = 3^x.\frac{3^{n+1}-1}{2}$

$(32)x=2.2n+1−13n+1−1(\frac{3}{2})^x = 2.\frac{2^{n+1}-1}{{3^{n+1}-1}}$

$x.ln(32)=ln(2.2n+1−13n+1−1)x.ln(\frac{3}{2}) = ln( 2.\frac{2^{n+1}-1}{{3^{n+1}-1}} )$

$\frac{ln( 2.\frac{2^{n+1}-1}{{3^{n+1}-1}} )}{ ln(\frac{3}{2})}$

Recopier sans comprendre est inutile ...