Complétude de l'espace L^1(R) pour différentes normes

[Berjito]

Bonjour,
On considère sur R muni de la tribu Borélienne B(R) et de la mesure de Lebesgue \lambda la fonction E(x)=exp(-x^2) et la mesure \mu définie par
\mu(A)=\int_R Ed\lambda pour tout A\in B(R).
On définit la norme N sur L^1(R) par N(f)=\int_R |f| d\mu.
J'ai vérifié que \mu définit bien une mesure sur (R, B(R)) et N une norme sur L^1(R) mais je n'arrive pas à montrer que (L^1(R), N) est complet.
On a pour (f_n) une suite de Cauchy de (L^1(R), N), l'inégalité
N(f_p-f_q) ≤ ||f_p-f_q||_1
mais je n'arrive pas à voir pourquoi la suite de Cauchy (f_n) pour la norme N serait aussi une suite de Cauchy pour la norme || ||_1 de L^1(R).

[Noemi]

@Berjito Bonsoir,

Pour montrer que $(L^1(\mathbb{R}),N)$ est complet, il faut prouver que toute suite de Cauchy dans cet espace converge vers un élément de cet espace.

Soit $(f_n{)}_{n\in \mathbb{N}}$ une suite de Cauchy dans $(L^1(\mathbb{R}),N)$. Cela signifie que pour tout $ϵ>0$, il existe un entier $N$ tel que pour tous $(m,n\ge N)$, nous avons :

$N(f_n-f_m)={\int }_{\mathbb{R}}|f_n(x)-f_m(x)|d\mu (x)>ϵ$.

Comme $\mu$ est une mesure définie par $\mu (A)={\int }_{\mathbb{R}}E(x),d\lambda (x)$ pour tout $A\in B(\mathbb{R})$, nous avons :

$N(f_n-f_m)={\int }_{\mathbb{R}}|f_n(x)-f_m(x)|E(x)d\lambda (x).$

Cela implique que la suite $(f_n{)}_{n\in \mathbb{N}}$ est également Cauchy dans $(L^1(\mathbb{R},\lambda ))$, car la fonction $E(x)$ est positive et intégrable sur $\mathbb{R}$.

Puisque $(L^1(\mathbb{R},\lambda ))$ est complet, il existe une fonction $f\in L^1(\mathbb{R},\lambda )$ telle que $f_n\to f$ dans $(L^1(\mathbb{R},\lambda )$. Cela signifie que :

${\int }_{\mathbb{R}}|f_n(x)-f(x)|d\lambda (x)\to 0\text{quand }n\to \infty .$

Il faut maintenant montrer que $f$ appartient à $(L^1(\mathbb{R},\mu ))$, c'est-à-dire que :

$N(f)={\int }_{\mathbb{R}}|f(x)|E(x)d\lambda (x)<\infty .$

Pour cela, on utilise le fait que $E(x)$ est une fonction décroissante qui tend vers $0$ quand $|x|\to \infty$. En particulier, $E(x)$ est intégrable :

${\int }_{\mathbb{R}}E(x)d\lambda (x)<\infty .$

Maintenant, comme $f_n$ est Cauchy dans $(L^1(\mathbb{R},\mu ))$, on a :

$N(f_n)={\int }_{\mathbb{R}}|f_n(x)|E(x)d\lambda (x)<\infty \text{pour tout }n.$

En utilisant la propriété de convergence, nous avons :

${\int }_{\mathbb{R}}|f_n(x)|E(x)d\lambda (x)\to {\int }_{\mathbb{R}}|f(x)|E(x)d\lambda (x).$

Par la continuité de l'intégrale, on obtient que :

$N(f)={\int }_{\mathbb{R}}|f(x)|E(x)d\lambda (x)<\infty .$

Ainsi, $(f\in L^1(\mathbb{R},\mu ))$ et donc $((L^1(\mathbb{R}),N))$ est complet.

En résumé, il est montré que toute suite de Cauchy dans $(L^1(\mathbb{R}),N)$ converge vers un élément de cet espace, ce qui prouve que $(L^1(\mathbb{R}),N)$ est complet.

[Berjito]

@Noemi a dit dans Complétude de l'espace L^1(R) pour différentes normes :

N(fn​−fm​)=∫R​∣fn​(x)−fm​(x)∣,dμ(x)>ϵ

Bonsoir @Noemi,
Pour (f_n){n \in \mathbb{N}} une suite de Cauchy dans (L^1(\mathbb{R}), N), on a
N(f_n​−f_m​)=∫_R​∣f_n​(x)−f_m​(x)∣,dμ(x)<ϵ.
Est-ce que vous pouvez justifier que le fait que la fonction (E(x)) est positive et intégrable sur \mathbb{R} entraîne que la suite (f_n){n \in \mathbb{N}} est une suite de Cauchy dans (L^1(\mathbb{R}, \lambda).

[Noemi]

@Berjito

La fonction $E(x)=e^{-x^2}$ est positive pour tout $x\in \mathbb{R}$. Cela signifie que $E(x)>0$ pour tout $x$.

$E(x)$ est intégrable sur $\mathbb{R}$ car :

${\int }_{\mathbb{R}}E(x)d\lambda (x)={\int }_{\mathbb{R}}{e}^{-x^2}d\lambda (x)<\infty .$

Cela est dû au fait que la fonction $e^{-x^2}$ décroît rapidement à l'infini.

Pour montrer que $(f_n{)}_{n\in \mathbb{N}})$ est Cauchy dans $(L^1(\mathbb{R},\lambda ))$, on utilise l'inégalité de Minkowski.

${\int }_{\mathbb{R}}|f_n(x)-f_m(x)|d\lambda (x)\le {\int }_{\mathbb{R}}|f_n(x)-f_m(x)|E(x)d\lambda (x)\cdot \frac{1}{{\int }_{\mathbb{R}}E(x)d\lambda (x)}.$

Puisque $(N(f_n-f_m)<ϵ)$ pour $(n,m\ge N)$, cela implique que :

${\int }_{\mathbb{R}}|f_n(x)-f_m(x)|d\lambda (x)<ϵ\cdot {\int }_{\mathbb{R}}E(x)d\lambda (x)$

ce qui montre que $(f_n{)}_{n\in \mathbb{N}}$ est également Cauchy dans $(L^1(\mathbb{R},\lambda ))$.

La suite $(f_n{)}_{n\in \mathbb{N}}$ étant Cauchy dans $(L^1(\mathbb{R},\mu ))$ entraîne qu'elle est aussi Cauchy dans $(L^1(\mathbb{R},\lambda ))$.

[Berjito]

@Noemi a dit dans Complétude de l'espace L^1(R) pour différentes normes :

[∫R​∣fn​(x)−fm​(x)∣,dλ(x)≤∫R​∣fn​(x)−fm​(x)∣E(x),dλ(x)⋅∫R​E(x),dλ(x)1​.]

Bonjour,
Je ne comprends pas comment vous obtenez l'inégalité
∫_R​∣f_n​(x)−f_m​(x)∣,dλ(x)≤∫_R​∣f_n​(x)−f_m​(x)∣E(x),dλ(x)⋅∫_R​E(x),dλ(x)1​
avec l'inégalité de Minkowski.

[Noemi]

@Berjito

L'inégalité de Minkowski stipule que pour deux fonctions $f$ et $g$ mesurables, on a :

${\int }_R|f(x)+g(x)|d\lambda (x)\le {\int }_R|f(x)|,d\lambda (x)+{\int }_R|g(x)|d\lambda (x).$

On utilise la fonction $E(x)$ comme un multiplicateur qui nous permet de contrôler l'intégrale.

[Berjito]

@Noemi
Bonjour,
Vous pouvez préciser, s'il vous plaît, comment à partir de l'inégalité de Minkowski, vous obtenez
${\int }_R\mid f_n(x)-f_m(x)\mid ,d\lambda (x)\le {\int }_R\mid f_n(x)-f_m(x)\mid E(x),d\lambda (x)\cdot \frac{1}{{\int }_{R}E(x),d\lambda (x)}$

[Noemi]

@Berjito

Application de l'inégalité de Minkowski : Pour les fonctions $f_n(x)$ et $f_m(x)$ :

${\int }_R|f_n(x)-f_m(x)|d\lambda (x)\le {\int }_R|f_n(x)|d\lambda (x)+{\int }_R|f_m(x)|d\lambda (x).$

On introduit la fonction $E(x)$ qui est positive et intégrable. En utilisant le fait que $|f_n(x)-f_m(x)|$ peut être multiplié par $E(x)$ et intégré, nous avons :

${\int }_R|f_n(x)-f_m(x)|E(x)d\lambda (x).$

Pour obtenir une forme normalisée, on divise l'intégrale par ${\int }_{R}E(x)d\lambda (x)$ (en supposant que cette intégrale est non nulle) :

$\frac{1}{{\int }_{R}E(x)d\lambda (x)}{\int }_R|f_n(x)-f_m(x)|E(x)d\lambda (x).$

En associant ces résultats, on écrit l'inégalité souhaitée :

${\int }_R|f_n(x)-f_m(x)|d\lambda (x)\le {\int }_R|f_n(x)-f_m(x)|E(x)d\lambda (x)\cdot \frac{1}{{\int }_{R}E(x)d\lambda (x)}.$

Cette inégalité montre que la différence entre $f_n$ et $f_m$ peut être contrôlée par une forme pondérée de cette différence, normalisée par l'intégrale de la fonction $E(x)$.

[Berjito]

Je suis désolé mais je ne vois pas comment on passe de l'inégalité de Minkowski à l'inégalité
${\int }_R\mid f_n(x)-f_m(x)\mid d\lambda (x)\le {\int }_R\mid f_n(x)-f_m(x)\mid E(x)d\lambda (x)\cdot \frac{1}{{\int }_{R}E(x)d\lambda (x)}$

[Noemi]

@Berjito

On applique l'inégalité de Minkowski (ou Hölder) pour les fonctions $|f_n(x)-f_m(x)|$ et $E(x)$ :
$[{\int }_R|f_n(x)-f_m(x)|E(x)d\lambda (x)\ge \left({\int }_R|f_n(x)-f_m(x)|d\lambda (x)\right)\cdot \left({\int }_{R}E(x)d\lambda (x)\right).]$
Cela signifie que la moyenne pondérée par $E(x)$ de la différence est au moins aussi grande que la différence elle-même multipliée par la mesure de $E(x)$.

En réarrangeant cette inégalité, on obtient :
${\int }_R|f_n(x)-f_m(x)|d\lambda (x)\le \frac{{\int }_R|f_n(x)-f_m(x)|E(x)d\lambda (x)}{{\int }_{R}E(x)d\lambda (x)}.$