Complétude de l'espace L^1(R) pour différentes normes

Bonjour,
On considère sur R muni de la tribu Borélienne B(R) et de la mesure de Lebesgue \lambda la fonction E(x)=exp(-x^2) et la mesure \mu définie par
\mu(A)=\int_R Ed\lambda pour tout A\in B(R).
On définit la norme N sur L^1(R) par N(f)=\int_R |f| d\mu.
J'ai vérifié que \mu définit bien une mesure sur (R, B(R)) et N une norme sur L^1(R) mais je n'arrive pas à montrer que (L^1(R), N) est complet.
On a pour (f_n) une suite de Cauchy de (L^1(R), N), l'inégalité
N(f_p-f_q) ≤ ||f_p-f_q||_1
mais je n'arrive pas à voir pourquoi la suite de Cauchy (f_n) pour la norme N serait aussi une suite de Cauchy pour la norme || ||_1 de L^1(R).

@Berjito Bonsoir,

Pour montrer que ((L^1(\mathbb{R}), N)) est complet, il faut prouver que toute suite de Cauchy dans cet espace converge vers un élément de cet espace.

Soit $((fn)n∈N)((f_n)_{n \in \mathbb{N}})$ une suite de Cauchy dans $((L1(R),N))((L^1(\mathbb{R}), N))$ . Cela signifie que pour tout $(ϵ>0)(\epsilon \gt 0)$ , il existe un entier $(N)$ tel que pour tous $\geq N)$ , nous avons :

$N(fn−fm)=∫R∣fn(x)−fm(x)∣,dμ(x)>ϵN(f_n - f_m) = \int_{\mathbb{R}} |f_n(x) - f_m(x)| , d\mu(x) \gt \epsilon$ .

Comme $(μ)(\mu)$ est une mesure définie par $(μ(A)=∫RE(x),dλ(x))(\mu(A) = \int_{\mathbb{R}} E(x) , d\lambda(x))$ pour tout $\in B(\mathbb{R}))$ , nous avons :

$N(fn−fm)=∫R∣fn(x)−fm(x)∣E(x),dλ(x).N(f_n - f_m) = \int_{\mathbb{R}} |f_n(x) - f_m(x)| E(x) , d\lambda(x).$

Cela implique que la suite $((fn)n∈N)((f_n)_{n \in \mathbb{N}})$ est également Cauchy dans $(L1(R,λ))(L^1(\mathbb{R}, \lambda))$ , car la fonction $(E (x))$ est positive et intégrable sur $(R)(\mathbb{R})$ .

Puisque $(L1(R,λ))(L^1(\mathbb{R}, \lambda))$ est complet, il existe une fonction $\in L^1(\mathbb{R}, \lambda))$ telle que $(fn→f)(f_n \to f)$ dans $(L1(R,λ)(L^1(\mathbb{R}, \lambda)$ . Cela signifie que :

$n→∞.\int_{\mathbb{R}} |f_n(x) - f(x)| , d\lambda(x) \to 0 \quad \text{quand } n \to \infty.$

Il faut maintenant montrer que $(f)$ appartient à $(L1(R,μ))(L^1(\mathbb{R}, \mu))$ , c'est-à-dire que :

$\int_{\mathbb{R}} |f(x)| E(x) , d\lambda(x) \lt \infty.$

Pour cela, on utilise le fait que $(E (x))$ est une fonction décroissante qui tend vers $(0)$ quand $\to \infty)$ . En particulier, $(E (x))$ est intégrable :

$∫RE(x),dλ(x)<∞.\int_{\mathbb{R}} E(x) , d\lambda(x) \lt \infty.$

Maintenant, comme $f_n$ ) est Cauchy dans $(L1(R,μ))(L^1(\mathbb{R}, \mu))$ , on a :

$n.N(f_n) = \int_{\mathbb{R}} |f_n(x)| E(x) , d\lambda(x) \lt \infty \quad \text{pour tout } n.$

En utilisant la propriété de convergence, nous avons :

$∫R∣fn(x)∣E(x),dλ(x)→∫R∣f(x)∣E(x),dλ(x).\int_{\mathbb{R}} |f_n(x)| E(x) , d\lambda(x) \to \int_{\mathbb{R}} |f(x)| E(x) , d\lambda(x).$

Par la continuité de l'intégrale, on obtient que :

$\int_{\mathbb{R}} |f(x)| E(x) , d\lambda(x) \lt \infty.$

Ainsi, $\in L^1(\mathbb{R}, \mu))$ et donc $((L1(R),N))((L^1(\mathbb{R}), N))$ est complet.

En résumé, il est montré que toute suite de Cauchy dans $((L1(R),N))((L^1(\mathbb{R}), N))$ converge vers un élément de cet espace, ce qui prouve que $((L1(R),N))((L^1(\mathbb{R}), N))$ est complet.

@Noemi a dit dans Complétude de l'espace L^1(R) pour différentes normes :

N(fn−fm)=∫R∣fn(x)−fm(x)∣,dμ(x)>ϵ

Bonsoir @Noemi,
Pour (f_n){n \in \mathbb{N}} une suite de Cauchy dans (L^1(\mathbb{R}), N), on a
N(f_n−f_m)=∫_R∣f_n(x)−f_m(x)∣,dμ(x)<ϵ.
Est-ce que vous pouvez justifier que le fait que la fonction (E(x)) est positive et intégrable sur \mathbb{R} entraîne que la suite (f_n){n \in \mathbb{N}} est une suite de Cauchy dans (L^1(\mathbb{R}, \lambda).