Complétude de l'espace L^1(R) pour différentes normes
-
BBerjito dernière édition par
Bonjour,
On considère sur R muni de la tribu Borélienne B(R) et de la mesure de Lebesgue \lambda la fonction E(x)=exp(-x^2) et la mesure \mu définie par
\mu(A)=\int_R Ed\lambda pour tout A\in B(R).
On définit la norme N sur L^1(R) par N(f)=\int_R |f| d\mu.
J'ai vérifié que \mu définit bien une mesure sur (R, B(R)) et N une norme sur L^1(R) mais je n'arrive pas à montrer que (L^1(R), N) est complet.
On a pour (f_n) une suite de Cauchy de (L^1(R), N), l'inégalité
N(f_p-f_q) ≤ ||f_p-f_q||_1
mais je n'arrive pas à voir pourquoi la suite de Cauchy (f_n) pour la norme N serait aussi une suite de Cauchy pour la norme || ||_1 de L^1(R).
-
@Berjito Bonsoir,
Pour montrer que ((L^1(\mathbb{R}), N)) est complet, il faut prouver que toute suite de Cauchy dans cet espace converge vers un élément de cet espace.
Soit ((fn)n∈N)((f_n)_{n \in \mathbb{N}})((fn)n∈N) une suite de Cauchy dans ((L1(R),N))((L^1(\mathbb{R}), N))((L1(R),N)). Cela signifie que pour tout (ϵ>0)(\epsilon \gt 0)(ϵ>0), il existe un entier (N)(N)(N) tel que pour tous (m,n≥N)(m, n \geq N)(m,n≥N), nous avons :
N(fn−fm)=∫R∣fn(x)−fm(x)∣,dμ(x)>ϵN(f_n - f_m) = \int_{\mathbb{R}} |f_n(x) - f_m(x)| , d\mu(x) \gt \epsilonN(fn−fm)=∫R∣fn(x)−fm(x)∣,dμ(x)>ϵ.
Comme (μ)(\mu)(μ) est une mesure définie par (μ(A)=∫RE(x),dλ(x))(\mu(A) = \int_{\mathbb{R}} E(x) , d\lambda(x))(μ(A)=∫RE(x),dλ(x)) pour tout (A∈B(R))(A \in B(\mathbb{R}))(A∈B(R)), nous avons :
N(fn−fm)=∫R∣fn(x)−fm(x)∣E(x),dλ(x).N(f_n - f_m) = \int_{\mathbb{R}} |f_n(x) - f_m(x)| E(x) , d\lambda(x).N(fn−fm)=∫R∣fn(x)−fm(x)∣E(x),dλ(x).
Cela implique que la suite ((fn)n∈N)((f_n)_{n \in \mathbb{N}})((fn)n∈N) est également Cauchy dans (L1(R,λ))(L^1(\mathbb{R}, \lambda))(L1(R,λ)), car la fonction (E(x))(E(x))(E(x)) est positive et intégrable sur (R)(\mathbb{R})(R).
Puisque (L1(R,λ))(L^1(\mathbb{R}, \lambda))(L1(R,λ)) est complet, il existe une fonction (f∈L1(R,λ))(f \in L^1(\mathbb{R}, \lambda))(f∈L1(R,λ)) telle que (fn→f)(f_n \to f)(fn→f) dans (L1(R,λ)(L^1(\mathbb{R}, \lambda)(L1(R,λ). Cela signifie que :
∫R∣fn(x)−f(x)∣,dλ(x)→0quand n→∞.\int_{\mathbb{R}} |f_n(x) - f(x)| , d\lambda(x) \to 0 \quad \text{quand } n \to \infty.∫R∣fn(x)−f(x)∣,dλ(x)→0quand n→∞.
Il faut maintenant montrer que (f)(f)(f) appartient à (L1(R,μ))(L^1(\mathbb{R}, \mu))(L1(R,μ)), c'est-à-dire que :
N(f)=∫R∣f(x)∣E(x),dλ(x)<∞.N(f) = \int_{\mathbb{R}} |f(x)| E(x) , d\lambda(x) \lt \infty.N(f)=∫R∣f(x)∣E(x),dλ(x)<∞.
Pour cela, on utilise le fait que (E(x))(E(x))(E(x)) est une fonction décroissante qui tend vers (0)(0)(0) quand (∣x∣→∞)(|x| \to \infty)(∣x∣→∞). En particulier, (E(x))(E(x))(E(x)) est intégrable :
∫RE(x),dλ(x)<∞.\int_{\mathbb{R}} E(x) , d\lambda(x) \lt \infty.∫RE(x),dλ(x)<∞.
Maintenant, comme (fn(f_n(fn) est Cauchy dans (L1(R,μ))(L^1(\mathbb{R}, \mu))(L1(R,μ)), on a :
N(fn)=∫R∣fn(x)∣E(x),dλ(x)<∞pour tout n.N(f_n) = \int_{\mathbb{R}} |f_n(x)| E(x) , d\lambda(x) \lt \infty \quad \text{pour tout } n.N(fn)=∫R∣fn(x)∣E(x),dλ(x)<∞pour tout n.
En utilisant la propriété de convergence, nous avons :
∫R∣fn(x)∣E(x),dλ(x)→∫R∣f(x)∣E(x),dλ(x).\int_{\mathbb{R}} |f_n(x)| E(x) , d\lambda(x) \to \int_{\mathbb{R}} |f(x)| E(x) , d\lambda(x).∫R∣fn(x)∣E(x),dλ(x)→∫R∣f(x)∣E(x),dλ(x).
Par la continuité de l'intégrale, on obtient que :
N(f)=∫R∣f(x)∣E(x),dλ(x)<∞.N(f) = \int_{\mathbb{R}} |f(x)| E(x) , d\lambda(x) \lt \infty.N(f)=∫R∣f(x)∣E(x),dλ(x)<∞.
Ainsi, (f∈L1(R,μ))(f \in L^1(\mathbb{R}, \mu))(f∈L1(R,μ)) et donc ((L1(R),N))((L^1(\mathbb{R}), N))((L1(R),N)) est complet.
En résumé, il est montré que toute suite de Cauchy dans ((L1(R),N))((L^1(\mathbb{R}), N))((L1(R),N)) converge vers un élément de cet espace, ce qui prouve que ((L1(R),N))((L^1(\mathbb{R}), N))((L1(R),N)) est complet.
-
BBerjito dernière édition par
@Noemi a dit dans Complétude de l'espace L^1(R) pour différentes normes :
N(fn−fm)=∫R∣fn(x)−fm(x)∣,dμ(x)>ϵ
Bonsoir @Noemi,
Pour (f_n){n \in \mathbb{N}} une suite de Cauchy dans (L^1(\mathbb{R}), N), on a
N(f_n−f_m)=∫_R∣f_n(x)−f_m(x)∣,dμ(x)<ϵ.
Est-ce que vous pouvez justifier que le fait que la fonction (E(x)) est positive et intégrable sur \mathbb{R} entraîne que la suite (f_n){n \in \mathbb{N}} est une suite de Cauchy dans (L^1(\mathbb{R}, \lambda).