Transformée de Laplace d'une fonction en escalier


  • medou coulibaly

    Bonsoir comment vous allez ? J'ai besoin d'aide pour cet exercice.
    Déterminer la transformée de Laplace de la fonction en escalier F(t) définie par :
    F(t) = { 0 si 0 ≤ t ≤ t₀
    { a t ≥ t₀


  • N
    Modérateurs

    @medou-coulibaly Bonsoir,

    Il serait bien que tu indiques tes éléments de réponse au lieu d'attendre une réponse.

    La transformée de Laplace, est donnée par :
    LF(t)=∫0∞e−stF(t) dt\mathcal{L}{F(t)} = \int_0^\infty e^{-st} F(t) \ dtLF(t)=0estF(t) dt

    LF(t)=∫0t0e−st×0 dt+∫t0∞e−sta dt=∫t0∞e−sta dt\mathcal{L}{F(t)} = \int_{0}^{t_0}e^{-st} \times 0 \ dt + \int_{t_0}^\infty e^{-st} a \ dt=\int_{t_0}^\infty e^{-st} a \ dtLF(t)=0t0est×0 dt+t0esta dt=t0esta dt

    LF(t)=a∫t0∞e−st dt\mathcal{L}{F(t)} = a \int_{t_0}^\infty e^{-st} \ dtLF(t)=at0est dt

    Pour résoudre cette intégrale, on utilise :

    ∫e−st dt=−1se−st\int e^{-st} \ dt = -\frac{1}{s} e^{-st}est dt=s1est

    ∫t0∞e−st,dt=[−1se−st]t0∞=0−(−1se−st0)=1se−st0\int_{t_0}^\infty e^{-st} , dt = \left[-\frac{1}{s} e^{-st}\right]_{t_0}^\infty = 0 - \left(-\frac{1}{s} e^{-st_0}\right) = \frac{1}{s} e^{-st_0}t0est,dt=[s1est]t0=0(s1est0)=s1est0

    LF(t)=a⋅1se−st0\mathcal{L}{F(t)} = a \cdot \frac{1}{s} e^{-st_0}LF(t)=as1est0

    La transformée de Laplace de la fonction F(t)F(t)F(t) est donnée par :

    LF(t)=ase−st0pour s>0\mathcal{L}{F(t)} = \dfrac{a}{s} e^{-st_0} \quad \text{pour } s \gt 0LF(t)=saest0pour s>0.


  • medou coulibaly

    @Noemi bonsoir monsieur , merci pour l'aide 😊👍


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