Transformée de Laplace d'une fonction en escalier
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medou coulibaly dernière édition par
Bonsoir comment vous allez ? J'ai besoin d'aide pour cet exercice.
Déterminer la transformée de Laplace de la fonction en escalier F(t) définie par :
F(t) = { 0 si 0 ≤ t ≤ t₀
{ a t ≥ t₀
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@medou-coulibaly Bonsoir,
Il serait bien que tu indiques tes éléments de réponse au lieu d'attendre une réponse.
La transformée de Laplace, est donnée par :
LF(t)=∫0∞e−stF(t) dt\mathcal{L}{F(t)} = \int_0^\infty e^{-st} F(t) \ dtLF(t)=∫0∞e−stF(t) dtLF(t)=∫0t0e−st×0 dt+∫t0∞e−sta dt=∫t0∞e−sta dt\mathcal{L}{F(t)} = \int_{0}^{t_0}e^{-st} \times 0 \ dt + \int_{t_0}^\infty e^{-st} a \ dt=\int_{t_0}^\infty e^{-st} a \ dtLF(t)=∫0t0e−st×0 dt+∫t0∞e−sta dt=∫t0∞e−sta dt
LF(t)=a∫t0∞e−st dt\mathcal{L}{F(t)} = a \int_{t_0}^\infty e^{-st} \ dtLF(t)=a∫t0∞e−st dt
Pour résoudre cette intégrale, on utilise :
∫e−st dt=−1se−st\int e^{-st} \ dt = -\frac{1}{s} e^{-st}∫e−st dt=−s1e−st
∫t0∞e−st,dt=[−1se−st]t0∞=0−(−1se−st0)=1se−st0\int_{t_0}^\infty e^{-st} , dt = \left[-\frac{1}{s} e^{-st}\right]_{t_0}^\infty = 0 - \left(-\frac{1}{s} e^{-st_0}\right) = \frac{1}{s} e^{-st_0}∫t0∞e−st,dt=[−s1e−st]t0∞=0−(−s1e−st0)=s1e−st0
LF(t)=a⋅1se−st0\mathcal{L}{F(t)} = a \cdot \frac{1}{s} e^{-st_0}LF(t)=a⋅s1e−st0
La transformée de Laplace de la fonction F(t)F(t)F(t) est donnée par :
LF(t)=ase−st0pour s>0\mathcal{L}{F(t)} = \dfrac{a}{s} e^{-st_0} \quad \text{pour } s \gt 0LF(t)=sae−st0pour s>0.
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medou coulibaly dernière édition par
@Noemi bonsoir monsieur , merci pour l'aide
