Transformée de Laplace : Fractions partielles
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medou coulibaly dernière édition par
Bonjour j'ai besoin d'aide pour la résolution de cet exercice.
Utiliser des fractions partielles pour déterminer \mathcal{L} ^ - 1 * {a/(s ^ 2 - a ^ 2)}
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@medou-coulibaly Bonjour,
Indique tes éléments de réponse.
On décompose l'expression en fractions partielles :
as2−a2=a(s−a)(s+a)=As−a+Bs+a\dfrac{a}{s^2 - a^2} = \dfrac{a}{(s - a)(s + a)} = \dfrac{A}{s - a} + \dfrac{B}{s + a}s2−a2a=(s−a)(s+a)a=s−aA+s+aB
où AAA et BBB sont deux constantes à déterminer.En multipliant chaque terme par (s−a)(s+a)(s - a)(s + a)(s−a)(s+a), on obtient :
a=A(s+a)+B(s−a)a = A(s + a) + B(s - a)a=A(s+a)+B(s−a)Pour trouver AAA et BBB, on choisit des valeurs pour sss.
Si s=as = as=a :
a=A(2a) ⟹ A=12a = A(2a) \implies A = \dfrac{1}{2}a=A(2a)⟹A=21
Si s=−as = -as=−a :a=B(−2a) ⟹ B=−12a = B(-2a) \implies B = -\dfrac{1}{2}a=B(−2a)⟹B=−21
Donc, nous avons :
as2−a2=1/2s−a−1/2s+a\dfrac{a}{s^2 - a^2} = \dfrac{1/2}{s - a} - \dfrac{1/2}{s + a}s2−a2a=s−a1/2−s+a1/2
on applique la transformée de Laplace inverse à chaque terme :
L−1{1/2s−a=12eat\mathcal{L}^{-1} \begin{dcases}\dfrac{1/2}{s - a}\end{dcases} = \dfrac{1}{2} e^{at}L−1{s−a1/2=21eat
L−1{−1/2s+a=−12e−at\mathcal{L}^{-1}\begin{dcases}-\dfrac{1/2}{s + a}\end{dcases} = -\frac{1}{2} e^{-at}L−1{−s+a1/2=−21e−at
La transformée de Laplace inverse de as2−a2\dfrac{a}{s^2 - a^2}s2−a2a est :
L−1{as2−a2=12eat−12e−at=12(eat−e−at)=sinh(at)\mathcal{L}^{-1}\begin{dcases}\dfrac{a}{s^2 - a^2}\end{dcases} = \dfrac{1}{2} e^{at} - \dfrac{1}{2} e^{-at} = \dfrac{1}{2}(e^{at} - e^{-at}) = \sinh(at)L−1{s2−a2a=21eat−21e−at=21(eat−e−at)=sinh(at)
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medou coulibaly dernière édition par
@Noemi merci beaucoup je vais reprendre
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medou coulibaly dernière édition par
@Noemi bonsoir pour le résultat est : Sinh(at) ?
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Oui c'est le résultat.
Voir ce cours : https://www.bibmath.net/dico/index.php?action=affiche&quoi=./h/hyperbofcn.html
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medou coulibaly dernière édition par
@Noemi ok d'accord