Transformée de Laplace : Fractions partielles

Bonjour j'ai besoin d'aide pour la résolution de cet exercice.
Utiliser des fractions partielles pour déterminer \mathcal{L} ^ - 1 * {a/(s ^ 2 - a ^ 2)}

@medou-coulibaly Bonjour,

Indique tes éléments de réponse.

On décompose l'expression en fractions partielles :
$as2−a2=a(s−a)(s+a)=As−a+Bs+a\dfrac{a}{s^2 - a^2} = \dfrac{a}{(s - a)(s + a)} = \dfrac{A}{s - a} + \dfrac{B}{s + a}$
où $A$ et $B$ sont deux constantes à déterminer.

En multipliant chaque terme par $(s - a) (s + a)$ , on obtient :
$a = A (s + a) + B (s - a)$

Pour trouver $A$ et $B$ , on choisit des valeurs pour $s$ .
Si $s = a$ :
$\implies A = \dfrac{1}{2}$
Si $s = - a$ :

$\implies B = -\dfrac{1}{2}$

Donc, nous avons :

$as2−a2=1/2s−a−1/2s+a\dfrac{a}{s^2 - a^2} = \dfrac{1/2}{s - a} - \dfrac{1/2}{s + a}$

on applique la transformée de Laplace inverse à chaque terme :

$L−1{1/2s−a=12eat\mathcal{L}^{-1} \begin{dcases}\dfrac{1/2}{s - a}\end{dcases} = \dfrac{1}{2} e^{at}$

$L−1{−1/2s+a=−12e−at\mathcal{L}^{-1}\begin{dcases}-\dfrac{1/2}{s + a}\end{dcases} = -\frac{1}{2} e^{-at}$

La transformée de Laplace inverse de $as2−a2\dfrac{a}{s^2 - a^2}$ est :

$L−1{as2−a2=12eat−12e−at=12(eat−e−at)=sinh⁡(at)\mathcal{L}^{-1}\begin{dcases}\dfrac{a}{s^2 - a^2}\end{dcases} = \dfrac{1}{2} e^{at} - \dfrac{1}{2} e^{-at} = \dfrac{1}{2}(e^{at} - e^{-at}) = \sinh(at)$

@Noemi merci beaucoup je vais reprendre

@Noemi bonsoir pour le résultat est : Sinh(at) ?

@medou-coulibaly

Oui c'est le résultat.
Voir ce cours : https://www.bibmath.net/dico/index.php?action=affiche&quoi=./h/hyperbofcn.html

@Noemi ok d'accord