Transformée de Laplace
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medou coulibaly dernière édition par medou coulibaly
Bonjour comment vous allez , je bloque sur cet exercice jai besoin d'aide.
Trouver la transformée de Laplace de la fonction représentée par F(t) où F(t)= t&0<= t<t 0 \ 2t 0 -t t 0 <= t<=2t 0 \ 0&t> 2t_{0} .
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@medou-coulibaly Bonjour,
Si la fonction F(t)F(t)F(t) est définie par :
F(t)={t si 0≤t<t02t0−t si t0≤t<2t00 si t>2t0F(t) =\begin{dcases} t \ \text{si } 0 \leq t \lt t_0 \cr 2t_0 - t \ \text{si } t_0 \leq t \lt2t_0 \cr0 \ \text{si } t \gt 2t_0 \end{dcases}F(t)=⎩⎪⎪⎨⎪⎪⎧t si 0≤t<t02t0−t si t0≤t<2t00 si t>2t0Tu utilises la définition de la transformée de Laplace :
LF(t)=∫0∞e−stF(t) dt\mathcal{L}{F(t)} = \int_0^{\infty} e^{-st} F(t) \ dtLF(t)=∫0∞e−stF(t) dtTu divises donc l'intégrale en trois parties :
LF(t)=∫0t0e−stt dt+∫t02t0e−st(2t0−t) dt+∫2t0+∞e−st×0 dt\mathcal{L}{F(t)} = \int_0^{t_0} e^{-st} t \ dt + \int_{t_0}^{2t_0} e^{-st} (2t_0 - t) \ dt+ \int_{2t_0}^{+\infty} e^{-st} \times 0 \ dtLF(t)=∫0t0e−stt dt+∫t02t0e−st(2t0−t) dt+∫2t0+∞e−st×0 dtje te laisse poursuivre les calculs.
Indique tes calculs et ou résultats si tu souhaites une correction.Sauf erreur de calcul, tu dois trouver :
LF(t)=1s2(1−e−2st0)\mathcal{L}{F(t)} = \dfrac{1}{s^2} (1 - e^{-2st_0})LF(t)=s21(1−e−2st0)
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Pas de réponse à mon précédent message !
Le calcul des intégrales :
Calcul de ∫0t0e−stt dt\int_0^{t_0} e^{-st} t \ dt∫0t0e−stt dt
Intégration par parties.
u=tu = tu=t donc du=dtdu = dtdu=dt
dv=e−stdtdv = e^{-st} dtdv=e−stdt donc v=−1se−stv = -\dfrac{1}{s} e^{-st}v=−s1e−st
Donc
∫0t0e−stt dt=[−tse−st]0t0+∫0t01se−st dt\int_0^{t_0} e^{-st} t \ dt = \left[-\dfrac{t}{s} e^{-st}\right]_0^{t_0} + \int_0^{t_0} \dfrac{1}{s} e^{-st} \ dt∫0t0e−stt dt=[−ste−st]0t0+∫0t0s1e−st dt[−tse−st]0t0=−t0se−st0+0=−t0se−st0\left[-\frac{t}{s} e^{-st}\right]_0^{t_0} = -\frac{t_0}{s} e^{-st_0} + 0 = -\frac{t_0}{s} e^{-st_0}[−ste−st]0t0=−st0e−st0+0=−st0e−st0
et
∫0t0e−st dt=[−1se−st]0t0=−1se−st0+1s=1s(1−e−st0)\int_0^{t_0} e^{-st} \ dt = \left[-\dfrac{1}{s} e^{-st}\right]_0^{t_0} = -\dfrac{1}{s} e^{-st_0} + \dfrac{1}{s} = \dfrac{1}{s} (1 - e^{-st_0})∫0t0e−st dt=[−s1e−st]0t0=−s1e−st0+s1=s1(1−e−st0)Donc :
∫0t0e−stt dt=−t0se−st0+1s2(1−e−st0)\int_0^{t_0} e^{-st} t \ dt = -\dfrac{t_0}{s} e^{-st_0} + \dfrac{1}{s^2} (1 - e^{-st_0})∫0t0e−stt dt=−st0e−st0+s21(1−e−st0)Calcul de∫t02t0e−st(2t0−t) dt\int_{t_0}^{2t_0} e^{-st} (2t_0 - t) \ dt∫t02t0e−st(2t0−t) dt
Intégration par parties.
u=2t0−tu = 2t_0 - tu=2t0−t donc du=−dtdu = -dtdu=−dt
dv=e−stdtdv = e^{-st} dtdv=e−stdt donc v=−1se−stv = -\dfrac{1}{s} e^{-st}v=−s1e−st∫t02t0e−st(2t0−t) dt=[−(2t0−t)se−st]t02t0+∫t02t01se−st dt\int_{t_0}^{2t_0} e^{-st} (2t_0 - t) \ dt = \left[-\dfrac{(2t_0 - t)}{s} e^{-st}\right] _{t_0}^{2t_0} + \int_{t_0}^{2t_0} \dfrac{1}{s} e^{-st} \ dt∫t02t0e−st(2t0−t) dt=[−s(2t0−t)e−st]t02t0+∫t02t0s1e−st dt
[−(2t0−t)se−st]t02t0=[−(2t0−2t0)se−2st0]−[−(2t0−t0)se−st0]=0+t0se−st0\left[-\dfrac{(2t_0 - t)}{s} e^{-st}\right]_{t_0}^{2t_0} = \left[-\dfrac{(2t_0 - 2t_0)}{s} e^{-2st_0}\right] - \left[-\dfrac{(2t_0 - t_0)}{s} e^{-st_0}\right] = 0 + \dfrac{t_0}{s} e^{-st_0}[−s(2t0−t)e−st]t02t0=[−s(2t0−2t0)e−2st0]−[−s(2t0−t0)e−st0]=0+st0e−st0
∫t02t0e−st dt=[−1se−st]t02t0=−1se−2st0+1se−st0=1s(e−st0−e−2st0)\int_{t_0}^{2t_0} e^{-st} \ dt = \left[-\dfrac{1}{s} e^{-st}\right]_{t_0}^{2t_0} = -\dfrac{1}{s} e^{-2st_0} + \dfrac{1}{s} e^{-st_0} = \dfrac{1}{s} (e^{-st_0} - e^{-2st_0})∫t02t0e−st dt=[−s1e−st]t02t0=−s1e−2st0+s1e−st0=s1(e−st0−e−2st0)
Donc
∫t02t0e−st(2t0−t) dt=t0se−st0+1s2(e−st0−e−2st0)\int_{t_0}^{2t_0} e^{-st} (2t_0 - t) \ dt = \dfrac{t_0}{s} e^{-st_0} + \dfrac{1}{s^2} (e^{-st_0} - e^{-2st_0})∫t02t0e−st(2t0−t) dt=st0e−st0+s21(e−st0−e−2st0)D'ou le résultat :
LF(t)=(−t0se−st0+d1s2(1−e−st0))+(t0se−st0+1s2(e−st0−e−2st0))\mathcal{L}{F(t)} = \left(-\dfrac{t_0}{s} e^{-st_0} + d\frac{1}{s^2} (1 - e^{-st_0})\right) + \left(\dfrac{t_0}{s} e^{-st_0} + \dfrac{1}{s^2} (e^{-st_0} - e^{-2st_0})\right)LF(t)=(−st0e−st0+ds21(1−e−st0))+(st0e−st0+s21(e−st0−e−2st0))
Soit
LF(t)=1s2(1−e−2st0)\mathcal{L}{F(t)} = \dfrac{1}{s^2} (1 - e^{-2st_0})LF(t)=s21(1−e−2st0)