Transformée de Laplace inverse
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medou coulibaly dernière édition par
Bonsoir jai besoin d'aide pour cet exercice.
Déterminer les transformées de Laplace inverses suivantes :
(a) \mathcal{L} ^ - 1 * (s + 3)/(s(s - 1)(s + 2));
(b) * \mathcal{L} ^ - 1 * (s - 1)/(s ^ 2 + 2s - 8);
(c) * \mathcal{L} ^ - 1 * (3s + 7)/(s ^ 2 - 2s + 5);
(d) * \mathcal{L} ^ - 1 * (e ^ (-7s))/((s + 3) ^ 3)
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@medou-coulibaly Bonsoir,
Pour rappel, ce forum n'a pas pour objectif de réaliser les exercices à votre place.
Comme indiqué à chacun de tes posts, précise tes éléments de réponse et tes difficultés.
Applique la méthode indiquée dans ton cours ou celle proposée dans le post précédent ou tu as eu la réponse.Pour information, le résultat de (a) est :
L−1(s+3s(s−1)(s+2))=−32+43et+16e−2t\mathcal{L}^{-1}\left(\dfrac{s + 3}{s(s - 1)(s + 2)}\right) = -\dfrac{3}{2} + \dfrac{4}{3}e^{t} + \dfrac{1}{6}e^{-2t}L−1(s(s−1)(s+2)s+3)=−23+34et+61e−2t
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Une réponse détaillée pour le premier.
On commence par modifier l'écriture de la fraction :
s+3s(s−1)(s+2)=As+Bs−1+Cs+2\dfrac{s + 3}{s(s - 1)(s + 2)} = \dfrac{A}{s} + \dfrac{B}{s - 1} + \dfrac{C}{s + 2}s(s−1)(s+2)s+3=sA+s−1B+s+2C
où AAA, BBB et CCC sont des constantes à déterminer.
Pour déterminer ces constantes, on multiplie chaque membre par le dénominateur.
s+3=A(s−1)(s+2)+B(s)(s+2)+C(s)(s−1)s + 3 = A(s - 1)(s + 2) + B(s)(s + 2) + C(s)(s - 1)s+3=A(s−1)(s+2)+B(s)(s+2)+C(s)(s−1)
On développe et on ordonne le terme de droite.
s+3=(A+B+C)s2+(A+2B−C)s+(−2A)s + 3 = (A + B + C)s^2 + (A + 2B - C)s + (-2A)s+3=(A+B+C)s2+(A+2B−C)s+(−2A)
On résous ensuite le système :
{A+B+C=0A+2B−C=1−2A=3\begin{dcases} A+B+C=0 \cr A+2B-C=1 \cr -2A=3 \end{dcases}⎩⎪⎪⎨⎪⎪⎧A+B+C=0A+2B−C=1−2A=3on obtient :
A=−32,B=43,C=16A = -\dfrac{3}{2}, \quad B = \dfrac{4}{3}, \quad C = \dfrac{1}{6}A=−23,B=34,C=61On écrit alors la décomposition en fractions partielles :
s+3s(s−1)(s+2)=−32s+43(s−1)+16(s+2)\dfrac{s + 3}{s(s - 1)(s + 2)} = -\dfrac{3}{2s} + \dfrac{4}{3(s - 1)} + \dfrac{1}{6(s + 2)}s(s−1)(s+2)s+3=−2s3+3(s−1)4+6(s+2)1On applique la transformée de Laplace inverse à chaque terme :
L−1(−32s)=−32\mathcal{L}^{-1}\left(-\dfrac{3}{2s}\right) = -\dfrac{3}{2}L−1(−2s3)=−23
L−1(43(s−1))=43et\mathcal{L}^{-1}\left(\dfrac{4}{3(s - 1)}\right) = \dfrac{4}{3}e^{t}L−1(3(s−1)4)=34et
L−1(16(s+2))=16e−2t\mathcal{L}^{-1}\left(\dfrac{1}{6(s + 2)}\right) = \dfrac{1}{6}e^{-2t}L−1(6(s+2)1)=61e−2t
Bilan :
L−1(s+3s(s−1)(s+2))=−32+43et+16e−2t\mathcal{L}^{-1}\left(\dfrac{s + 3}{s(s - 1)(s + 2)}\right) = -\dfrac{3}{2} + \dfrac{4}{3}e^{t} + \dfrac{1}{6}e^{-2t}L−1(s(s−1)(s+2)s+3)=−23+34et+61e−2t.Applique le même raisonnement aux autres éléments. indique tes calculs et/ou résultats si tu souhaites une vérification.
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Une réponse pour le (d) :
La transformée de Laplace de la fonction tne−att^n e^{-at}tne−at est donnée par :
Ltne−at=n!(s+a)n+1\mathcal{L}{t^n e^{-at}} = \dfrac{n!}{(s + a)^{n + 1}}Ltne−at=(s+a)n+1n!par identification a=3a = 3a=3 et n=2n = 2n=2
La transformée de Laplace de t2e−3tt^2 e^{-3t}t2e−3t est donc :
Lt2e−3t=2!(s+3)3=2(s+3)3\mathcal{L}{t^2 e^{-3t}} = \dfrac{2!}{(s + 3)^{3}} = \dfrac{2}{(s + 3)^{3}}Lt2e−3t=(s+3)32!=(s+3)32On applique le décalage dans le temps. Le facteur e−7se^{-7s}e−7s indique que nous devons effectuer un décalage de 7 unités de temps :
L−1(e−7s(s+3)3)=u(t−7)⋅f(t−7)\mathcal{L}^{-1}\left(\dfrac{e^{-7s}}{(s + 3)^3}\right) = u(t - 7) \cdot f(t - 7)L−1((s+3)3e−7s)=u(t−7)⋅f(t−7)où u(t−7)u(t - 7)u(t−7) est la fonction échelon de Heaviside et f(t)=t2e−3tf(t) = t^2 e^{-3t}f(t)=t2e−3t.
Avec :
f(t−7)=(t−7)2e−3(t−7)=(t−7)2e−3t+21f(t - 7) = (t - 7)^2 e^{-3(t - 7)} = (t - 7)^2 e^{-3t + 21}f(t−7)=(t−7)2e−3(t−7)=(t−7)2e−3t+21Bilan :
L−1(e−7s(s+3)3)=u(t−7)(t−7)2e−3(t−7)\mathcal{L}^{-1}\left(\dfrac{e^{-7s}}{(s + 3)^3}\right) = u(t - 7) (t - 7)^2 e^{-3(t - 7)}L−1((s+3)3e−7s)=u(t−7)(t−7)2e−3(t−7)
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Une réponse pour le (b)(b)(b)
Factorisation du dénominateur
s2+2s−8=(s+1)2−9=(s+1−3)(s+1+3)=(s−2)(s+4)s^2 + 2s - 8= (s+1)^2-9=(s+1-3)(s+1+3)=(s-2)(s+4)s2+2s−8=(s+1)2−9=(s+1−3)(s+1+3)=(s−2)(s+4)Décomposition en fractions partielles :
s−1(s−2)(s+4)=As−2+Bs+4\dfrac{s - 1}{(s - 2)(s + 4)} = \dfrac{A}{s - 2} + \dfrac{B}{s + 4}(s−2)(s+4)s−1=s−2A+s+4BSi on multiplie l'expression par le dénominateur commun :
s−1=A(s+4)+B(s−2)s - 1 = A(s + 4) + B(s - 2)s−1=A(s+4)+B(s−2)
On développe et on regroupe les termes :
s−1=(A+B)s+(4A−2B)s - 1 = (A + B)s + (4A - 2B)s−1=(A+B)s+(4A−2B)En égalant les coefficients, on obtient le système :
{A+B=14A−2B=−1\begin{dcases} A + B = 1 \cr 4A - 2B = -1 \end{dcases}{A+B=14A−2B=−1
La résolution du système donne : A=16A=\dfrac{1}{6}A=61 et B=56B = \dfrac{5}{6}B=65
Donc
s−1(s−2)(s+4)=1/6s−2+5/6s+4\dfrac{s - 1}{(s - 2)(s + 4)} = \dfrac{1/6}{s - 2} + \dfrac{5/6}{s + 4}(s−2)(s+4)s−1=s−21/6+s+45/6En utilisant les tables de transformées de Laplace,
L−1(1s−a)=eat\mathcal{L}^{-1} \left( \dfrac{1}{s - a} \right) = e^{at}L−1(s−a1)=eat
donc
L−1(1/6s−2)=16e2t\mathcal{L}^{-1} \left( \dfrac{1/6}{s - 2} \right) = \dfrac{1}{6} e^{2t}L−1(s−21/6)=61e2tL−1(5/6s+4)=56e−4t\mathcal{L}^{-1} \left( \dfrac{5/6}{s + 4} \right) = \dfrac{5}{6} e^{-4t}L−1(s+45/6)=65e−4t
Donc, la transformée de Laplace inverse est :
L−1(s−1s2+2s−8)=16e2t+56e−4t\mathcal{L}^{-1} \left( \dfrac{s - 1}{s^2 + 2s - 8} \right) = \dfrac{1}{6} e^{2t} + \dfrac{5}{6} e^{-4t}L−1(s2+2s−8s−1)=61e2t+65e−4t
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medou coulibaly dernière édition par
@Noemi Merci beaucoup j'ai puis retrouvé les mêmes résultats que vous 🥰
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Parfait si tu as trouvé les mêmes résultats. Peux-tu écrire le résultat que tu as obtenu pour ccc ?
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medou coulibaly dernière édition par
@Noemi pour C j'ai obtenu 3cos(2t) + 5sin(2t)
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Il manque le facteur ete^tet.
Tu dois trouver :
3etcos(2t)+5etsin(2t)3e^{t} \cos(2t) + 5e^{t} \sin(2t)3etcos(2t)+5etsin(2t)
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medou coulibaly dernière édition par
@Noemi oui oui merci c'est çà.