Convergence d'une fonction périodique
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medou coulibaly dernière édition par
Bonjour comment vous allez, j'ai besoin d'aide pour cet exercice que je bloque dessus.
Soit / la fonction 2π-périodique définie par f(x) = xsur ]- pi, pi].- Montrer que gence de Sf .) Sf(x) = 2 * sum n = 1 to ∞ ((- 1) ^ (n - 1) * sin nx)/n (On ne s'intéresse pas ici à la conver-
- Montrer que pour x in] - pi , pi[, jf(x) = x (convergence simple).
- Qu'en est-il de la convergence simple de la série Sf en x = pi
- Montrer que Sigma n = 1 ^ infty 1 n^ 2 = pi^ 2 6 .
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@medou-coulibaly Bonjour,
Vérifie l'énoncé et rectifie les erreurs de frappe.
Indique tes éléments de réponse et la question qui te pose problème.
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Quelle est la nature de la fonction fff ?
Cette fonction est impaire et 2π2\pi2π périodique.Calcul des coefficients de Fourier sont donnés par :
Coefficient constant a0a_0a0 :
a0=12π∫−ππf(x) dx=12π∫−ππx dx=0a_0 = \frac{1}{2\pi} \int_{-\pi}^{\pi} f(x) \ dx = \frac{1}{2\pi} \int_{-\pi}^{\pi} x \ dx = 0a0=2π1∫−ππf(x) dx=2π1∫−ππx dx=0
Coefficients ana_nan :
an=1π∫−ππf(x)cos(nx) dxa_n = \frac{1}{\pi} \int_{-\pi}^{\pi} f(x) \cos(nx) \ dxan=π1∫−ππf(x)cos(nx) dx
Comme la fonction est impaire, an=0a_n = 0an=0 pour tous nnn.Coefficients bnb_nbn :
bn=1π∫−ππf(x)sin(nx) dx=1π∫−ππxsin(nx) dxb_n = \frac{1}{\pi} \int_{-\pi}^{\pi} f(x) \sin(nx) \ dx = \frac{1}{\pi} \int_{-\pi}^{\pi} x \sin(nx) \ dxbn=π1∫−ππf(x)sin(nx) dx=π1∫−ππxsin(nx) dxOn utilise une intégration par parties.
On pose u(x)=xu(x) = xu(x)=x et dv(x)=sin(nx) dxdv(x) = \sin(nx) \ dxdv(x)=sin(nx) dx,
du(x)=dxdu(x) = dxdu(x)=dx, v=−1ncos(nx)\quad v = -\frac{1}{n} \cos(nx)v=−n1cos(nx)L'intégration par parties donne :
∫xsin(nx) dx=[−xncos(nx)]−ππ+1n∫cos(nx) dx\int x \sin(nx) \ dx = [-\frac{x}{n} \cos(nx)]_ {-\pi}^{\pi} + \frac{1}{n} \int \cos(nx) \ dx∫xsin(nx) dx=[−nxcos(nx)]−ππ+n1∫cos(nx) dx
avec
[−xncos(nx)]−ππ=−πncos(nπ)+πncos(−nπ)=−πn(−1)n+πn(−1)n=(−1)n+1×2n[-\frac{x}{n} \cos(nx) ]_ {-\pi}^{\pi} = -\frac{\pi}{n} \cos(n\pi) + \frac{\pi}{n} \cos(-n\pi) = -\frac{\pi}{n} (-1)^n + \frac{\pi}{n} (-1)^n = (-1)^{n+1}\times \frac{2}{n}[−nxcos(nx)]−ππ=−nπcos(nπ)+nπcos(−nπ)=−nπ(−1)n+nπ(−1)n=(−1)n+1×n2
et
1n∫−ππcos(nx) dx=0(car cos(nx) est pair et x est impair)\frac{1}{n} \int_{-\pi}^{\pi} \cos(nx) \ dx = 0 \quad (\text{car } \cos(nx) \text{ est pair et } x \text{ est impair})n1∫−ππcos(nx) dx=0(car cos(nx) est pair et x est impair)donc
bn=(−1)n+1×2nb_n = (-1)^{n+1}\times \frac{2}{n}bn=(−1)n+1×n2
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Pour montrer que la série de Fourier Sf(x)S_f(x)Sf(x) converge simplement vers f(x)=xf(x) = xf(x)=x pour x∈]−π,π[x \in ] -\pi, \pi[x∈]−π,π[, on utilise le fait quelle fonction fff est une fonction 2π-périodique définie par f(x)=xf(x) = xf(x)=x sur l'intervalle ]−π,π[] -\pi, \pi[ ]−π,π[.
La série de Fourier de f(x)=xf(x) = xf(x)=x est : Sf(x)=∑n=1∞bnsin(nx)S_f(x) = \sum_{n=1}^{\infty} b_n \sin(nx)Sf(x)=∑n=1∞bnsin(nx)
avec : bn=2(−1)n−1nb_n = \frac{2(-1)^{n-1}}{n}bn=n2(−1)n−1
Ainsi, la série de Fourier : Sf(x)=∑n=1∞2(−1)n−1nsin(nx)S_f(x) = \sum_{n=1}^{\infty} \frac{2(-1)^{n-1}}{n} \sin(nx)Sf(x)=∑n=1∞n2(−1)n−1sin(nx)Pour montrer que Sf(x)S_f(x)Sf(x) converge simplement vers f(x)=xf(x) = xf(x)=x pour x∈]−π,π[x \in ] -\pi, \pi[x∈]−π,π[, on utilise la propriété que la série de Fourier d'une fonction continue et périodique converge vers la fonction elle-même presque partout, et converge uniformément sur tout intervalle où la fonction est continue.
or La fonction f(x)=xf(x) = xf(x)=x est continue sur l'intervalle ]−π,π[] -\pi, \pi[]−π,π[.
En utilisant le théorème de Dirichlet, une série de Fourier converge simplement vers f(x)f(x)f(x) à chaque point où f(x)f(x)f(x) est continue.
donc comme f(x)f(x)f(x) est continue sur l'intervalle ]−π,π[] -\pi, \pi[]−π,π[, on conclut que :
Sf(x)→f(x)=xpour tout x∈]−π,π[S_f(x) \to f(x) = x \quad \text{pour tout } x \in ] -\pi, \pi[Sf(x)→f(x)=xpour tout x∈]−π,π[.