Équation différentielle

[linjos]

1)Résoudre $(1+x²)y" + xy' - 4y = 0 en posant x = sh(t)

2)Déterminer toutes les fonctions sur R telles que : Pour tout x appatenant à R, f'(x) = f(2-x)

Bonjour/bonsoir selon l'heure à laquelle vous verrez cette publication.
Je voudrais obtenir de l'aide dans la résolution de ces deux exercices.
Cela m'aiderai beaucoup

[Noemi]

@linjos Bonsoir,

Un seul exercice par post, propose le deuxième exercice en proposant un autre sujet.

[Noemi]

@linjos

On pose $x=\mathrm{sh}(t)$.
$dx=\mathrm{ch}(t)dt$

$y^{\prime }=\frac{dy}{dx}=\frac{1}{\mathrm{ch}(t)}\frac{dy}{dt}$.

$y^{\prime \prime }=\frac{d}{dx}\left(y^{\prime }\right)=\frac{d}{dx}\left(\frac{1}{\mathrm{ch}(t)}\frac{dy}{dt}\right)$.

$y^{\prime \prime }=\frac{d}{dx}\left(\frac{1}{\mathrm{ch}(t)}\right)\frac{dy}{dt}+\frac{1}{\mathrm{ch}(t)}\frac{d}{dx}\left(\frac{dy}{dt}\right)$.

$\frac{d}{dx}\left(\frac{1}{\mathrm{ch}(t)}\right)=-\frac{\mathrm{sh}(t)}{{\mathrm{ch}}^2(t)}\frac{dt}{dx}=-\frac{\mathrm{sh}(t)}{{\mathrm{ch}}^2(t)}\cdot \frac{1}{\mathrm{ch}(t)}=-\frac{\mathrm{sh}(t)}{{\mathrm{ch}}^3(t)}$.

Donc :

$y^{\prime \prime }=-\frac{\mathrm{sh}(t)}{{\mathrm{ch}}^3(t)}\frac{dy}{dt}+\frac{1}{\mathrm{ch}(t)}\cdot \frac{1}{\mathrm{ch}(t)}\frac{d^{2}y}{d{t}^2}=-\frac{\mathrm{sh}(t)}{{\mathrm{ch}}^3(t)}\frac{dy}{dt}+\frac{1}{{\mathrm{ch}}^2(t)}\frac{d^{2}y}{d{t}^2}$.

On remplace $y^{\prime }$ et $y^{\prime \prime }$ dans l'équation différentielle :
$(1+{\mathrm{sh}}^2(t))\left(-\frac{\mathrm{sh}(t)}{{\mathrm{ch}}^3(t)}\frac{dy}{dt}+\frac{1}{{\mathrm{ch}}^2(t)}\frac{d^{2}y}{d{t}^2}\right)+\mathrm{sh}(t)\left(\frac{1}{\mathrm{ch}(t)}\frac{dy}{dt}\right)-4y=0$.

Je te laisse vérifier les calculs et poursuivre.

[linjos]

@Noemi merci beaucoup