Raisonnement par récurrence
-
Claudia ZARASOA dernière édition par
Montrer que pour tout n appartient à l'ensemble N, 16 ^n+12n-1 est divisible par 9
-
@Claudia-ZARASOA Bonjour (Marque de politesse à ne pas oublier !)
Indique tes calculs.
As-tu vérifié pour n=0n= 0n=0 ?
-
Claudia ZARASOA dernière édition par
@Noemi Bonsoir, je suis vraiment désolé, je m'excuse. Oui j'ai déjà vérifié pour n =0
-
Claudia ZARASOA dernière édition par
@Noemi J'en suis déjà au rang (n+1)
16^(n+1)+12(n+1)-1
=16.16^n+12n+12-1
=16.16^n+12n-1+12
=16.9k+12?
-
Tu multiplies l'expression par 161616
16n+1+16×12n−16=16n+1+192n−1616^{n+1}+16\times12n-16 = 16^{n+1}+192n-1616n+1+16×12n−16=16n+1+192n−16
=16n+1+12(n+1)−1+180n−27=16^{n+1}+12(n+1)-1 +180n-27=16n+1+12(n+1)−1+180n−27
Puis tu utilises les congruences
180n−27=9(20n−3)180n-27=9(20n-3)180n−27=9(20n−3) donc ....Je te laisse poursuivre, indique tes calculs si tu souhaites une vérification.
-
Claudia ZARASOA dernière édition par
@Noemi est ce qu'il n'y a pas d'autre méthode pour le faire sans passer par les congruences, S'il-vous-plaît ?
-
Tu supposes que 16n+12n−116^n+12n-116n+12n−1 est divisible par 999, donc
il existe un réel kkk tel que 16n+12n−1=9k16^n+12n-1= 9k16n+12n−1=9k
Tu multiplies par 161616
donc 16×(16n+12n−1)=16×9k=9k′16\times (16^n+12n-1)= 16\times 9k = 9k'16×(16n+12n−1)=16×9k=9k′
or 16×(16n+12n−1)=16n+1+16×12n−16=16n+1+12(n+1)−1+180n−2716\times (16^n+12n-1)=16^{n+1}+16\times 12n-16= 16^{n+1}+12(n+1)-1+180n-2716×(16n+12n−1)=16n+1+16×12n−16=16n+1+12(n+1)−1+180n−27
180n−27=9(20n−3)180n-27=9(20n-3)180n−27=9(20n−3) donc divisible par 999.
Conclusion 16n+1+12(n+1)−116^{n+1}+12(n+1)-116n+1+12(n+1)−1 est divisible par 999.
-
Claudia ZARASOA dernière édition par Claudia ZARASOA
@Noemi Bonjour
On peut déterminer la divisibilité de cette équation à partir de 180n-27 seulement ?
-
Je reprends ma réponse précédente :
Tu multiplies par 161616
donc 16×(16n+12n−1)=16×9k=9k′16\times (16^n+12n-1)= 16\times 9k = 9k'16×(16n+12n−1)=16×9k=9k′
or 16×(16n+12n−1)=16n+1+16×12n−16=16n+1+12(n+1)−1+180n−2716\times (16^n+12n-1)=16^{n+1}+16\times 12n-16= 16^{n+1}+12(n+1)-1+180n-2716×(16n+12n−1)=16n+1+16×12n−16=16n+1+12(n+1)−1+180n−27 nombre qui est un multiple de 999 car égal à 9k′9k'9k′
180n−27=9(20n−3)180n-27=9(20n-3)180n−27=9(20n−3) donc divisible par 999.
soit 16n+1+12(n+1)−1+180n−27=16n+1+12(n+1)−1+9(20n−3)=9k′16^{n+1}+12(n+1)-1+180n-27=16^{n+1}+12(n+1)-1+9(20n-3)=9k'16n+1+12(n+1)−1+180n−27=16n+1+12(n+1)−1+9(20n−3)=9k′
que tu peux écrire :
16n+1+12(n+1)−1+180n−27=16n+1+12(n+1)−1=9k′−9(20n−3)=9(k′−20n+3)16^{n+1}+12(n+1)-1+180n-27=16^{n+1}+12(n+1)-1=9k'-9(20n-3)=9(k'-20n+3)16n+1+12(n+1)−1+180n−27=16n+1+12(n+1)−1=9k′−9(20n−3)=9(k′−20n+3)
Conclusion 16n+1+12(n+1)−116^{n+1}+12(n+1)-116n+1+12(n+1)−1 est divisible par 999.
-
Claudia ZARASOA dernière édition par
@Noemi Merci beaucoup pour votre réponse, je comprends parfaitement maintenant
-
C'est parfait. Il ne faut pas hésiter à poser des questions lorsqu'on ne comprend pas.
