DM: Transformée de Fourier

Bonjour ! J'espère que vous allez bien. J'ai un exercice que j'ai du mal à trouver une solution.
Exercice
Donne la transformée de Fourier de la fonction f (t) définie par
f(t)={ T+t -T<=t<0 } , f(t)={ T-t 0<=t<T } et f(t)={0 otherwise.}
J'ai besoin de votre aide SVP.

@Donassi-soungari-Soro Bonjour,

Soit la fonction définie par :
$=\begin{cases}T + t \ \text{si } -T \leq t \lt 0 \cr T - t \ \text{si } 0 \leq t \lt T \cr 0 \ \text{sinon}\end{cases}$
Tu utilises la définition de la transformée de Fourier :

$Ff(t)=F(ω)=∫−∞∞f(t)e−iωtdt\mathcal{F}{f(t)} = F(\omega) = \int_{-\infty}^{\infty} f(t) e^{-i \omega t} dt$

Étant donné la définition de $f (t)$ , tu restreins l'intégrale aux intervalles où $f (t)$ est non nul :
soit
$F(ω)=∫−T0(T+t)e−iωtdt+∫0T(T−t)e−iωtdtF(\omega) = \int_{-T}^{0} (T + t) e^{-i \omega t} dt + \int_{0}^{T} (T - t) e^{-i \omega t} dt$

Calcul des intégrales :
$I1=∫−T0(T+t)e−iωtdtI_1 = \int_{-T}^{0} (T + t) e^{-i \omega t} dt$

Tu fais une intégration par parties.
Tu poses : $u = T + t$ et $e^{-i \omega t} dt$ .
$\quad \text{et} \quad v = \dfrac{e^{-i \omega t}}{-i \omega} = -\dfrac{1}{i \omega} e^{-i \omega t}$

$I1=[(T+t)(−1iωe−iωt)]−T0+1iω∫−T0e−iωtdtI_1 = \left[ (T + t) \left(-\frac{1}{i \omega} e^{-i \omega t}\right) \right]_{-T}^{0} + \frac{1}{i \omega} \int _ {-T}^{0} e^{-i \omega t} dt$
avec
$[(T+0)(−1iωe0)−(T−T)(−1iωeiωT)]=−Tiω+0=−Tiω\left[ (T + 0) \left(-\frac{1}{i \omega} e^{0}\right) - (T - T) \left(-\frac{1}{i \omega} e^{i \omega T}\right) \right]= -\frac{T}{i \omega} + 0 = -\frac{T}{i \omega}$

$∫−T0e−iωtdt=[−1iωe−iωt]−T0=−1iω(1−eiωT)\int_{-T}^{0} e^{-i \omega t} dt = \left[ -\frac{1}{i \omega} e^{-i \omega t} \right]_{-T}^{0} = -\frac{1}{i \omega} (1 - e^{i \omega T})$
Donc :
$I1=−Tiω+1iω(−1iω(1−eiωT))=−Tiω−1(iω)2(1−eiωT)I_1 = -\frac{T}{i \omega} + \frac{1}{i \omega} \left(-\frac{1}{i \omega} (1 - e^{i \omega T})\right)= -\frac{T}{i \omega} - \frac{1}{(i \omega)^2} (1 - e^{i \omega T})$

$I2=∫0T(T−t)e−iωtdtI_2 = \int_{0}^{T} (T - t) e^{-i \omega t} dt$

Intégration par parties
$u = T - t$ et $e^{-i \omega t} dt$ .
$\quad \text{et} \quad v = -\frac{1}{i \omega} e^{-i \omega t}$

$I2=[(T−t)(−1iωe−iωt)]0T+1iω∫0Te−iωtdtI_2 = \left[ (T - t) \left(-\frac{1}{i \omega} e^{-i \omega t}\right) \right]_{0}^{T} + \frac{1}{i \omega} \int _{0}^{T} e^{-i \omega t} dt$

Calcul similaire au précédent,

$I2=Tiω+1iω(−1iω(e−iωT−1))=Tiω−1(iω)2(e−iωT−1)I_2 = \frac{T}{i \omega} + \frac{1}{i \omega} \left(-\frac{1}{i \omega} (e^{-i \omega T} - 1)\right) = \frac{T}{i \omega} - \frac{1}{(i \omega)^2} (e^{-i \omega T} - 1)$

Bilan : $F(ω)=I1+I2F(\omega) = I_1 + I_2$
$F(ω)=(−Tiω−1(iω)2(1−eiωT))+(Tiω−1(iω)2(e−iωT−1))F(\omega) = \left(-\frac{T}{i \omega} - \frac{1}{(i \omega)^2} (1 - e^{i \omega T})\right) + \left(\frac{T}{i \omega} - \frac{1}{(i \omega)^2} (e^{-i \omega T} - 1)\right)$

$F(ω)=−1(iω)2(1−eiωT)−1(iω)2(e−iωT−1)F(\omega) = -\frac{1}{(i \omega)^2} (1 - e^{i \omega T}) - \frac{1}{(i \omega)^2} (e^{-i \omega T} - 1)$

$F(ω)=−1(iω)2(1−eiωT+1−e−iωT)F(\omega) = -\frac{1}{(i \omega)^2} \left(1 - e^{i \omega T} + 1 - e^{-i \omega T}\right)$

$F(ω)=−2(iω)2(1−cos⁡(ωT))F(\omega)= -\frac{2}{(i \omega)^2} (1 - \cos(\omega T))$

Tu peux utiliser la relation $\cos(\omega T) = 2 \sin^2\left(\frac{\omega T}{2}\right)$ :

$F(ω)=−2⋅2sin⁡2(ωT2)(iω)2=4sin⁡2(ωT2)ω2F(\omega) = -\dfrac{2 \cdot 2 \sin^2\left(\frac{\omega T}{2}\right)}{(i \omega)^2} = \dfrac{4 \sin^2\left(\frac{\omega T}{2}\right)}{\omega^2}$

Calculs à vérifier et à comprendre.

@Noemi merci infiniment monsieur