DM : Mathématiques du signal

[Donassi soungari Soro]

Bonjour ! j'espère que vous allez bien. J'ai besoin de votre aide sur cet exercice qui me pose des problèmes.

Exercice
Trouver l'énergie du signal x(t) et u(-t). 1- Trouvez la valeur de T telle que 95% de l'énergie du signal se situe dans la plage 0 ≤ t ≤ T. 2- Quelle est la bande passante du signal correspondante B. où B est tel que 95% de l'énergie spectrale se situe dans la plage 0≤ ω<=Β.
Aidez moi svp !

[Noemi]

@Donassi-soungari-Soro Bonsoir,

Il manque l'écriture du signal.

Indique tes éléments de réponse et la question qui te pose problème.

[Donassi soungari Soro]

@Noemi Excusez moi monsieur. C'est x(t)=e^2t×u(-t)

[Noemi]

@Donassi-soungari-Soro

Pour calculer l'énergie $E$ d'un signal $x(t)$ on utilise la formule :
$E={\int }_{-\infty }^{+\infty }|x(t){|}^{2}dt$

Le signal est non nul uniquement pour $t\le 0$ à cause de la fonction échelon $u(-t)$. Donc :
$E={\int }_{-\infty }^0|e^{2t}{|}^{2}dt$

$E={\int }_{-\infty }^0{e}^{4t}dt$

$E={\left[\frac{e^{4t}}{4}\right]}_{-\infty }^0=\left(\frac{e^0}{4}-{\lim }_{t\to -\infty }\frac{e^{4t}}{4}\right)$

$E=\frac{1}{4}$

Je te laisse poursuivre. Indique tes calculs et/ou résultat si tu souhaites une vérification.

[Donassi soungari Soro]

@Noemi merci infiniment monsieur

[Donassi soungari Soro]

@Noemi Donc en conclusion la valeur de T est de [0; —>[

[Noemi]

@Donassi-soungari-Soro

Non, tu dois trouver : $T=-\frac{\ln (0.05)}{4}$

[Noemi]

@Donassi-soungari-Soro

Tu dois déterminer $T$ tel que : ${\int }_{-T}^0|x(t){|}^{2}dt=0,95\cdot E$
Or $E=\frac{1}{4}$ donc :

Tu dois résoudre :
${\int }_{-T}^0{e}^{4t}dt=\frac{0,95}{4}$
Pour l'intégrale :
${\int }_{-T}^0{e}^{4t}dt={\left[\frac{e^{4t}}{4}\right]}_{-T}^0=\frac{e^0}{4}-\frac{e^{-4T}}{4}=\frac{1}{4}-\frac{e^{-4T}}{4}$

Puis
$\frac{1}{4}-\frac{e^{-4T}}{4}=\frac{0,95}{4}$

$1-e^{-4T}=0,95$

$e^{-4T}=0,05$ ; $-4T=\ln (0,05)$

$T=-\frac{\ln (0,05)}{4}$

[Noemi]

@Donassi-soungari-Soro

Question 2.
Pour trouver la bande passante, il faut calculer la transformée de Fourier du signal $x(t)=e^{2t}u(-t)$
$X(\omega )={\int }_{-\infty }^0{e}^{2t}{e}^{-j\omega t}dt$
$X(\omega )={\int }_{-\infty }^0{e}^{(2-j\omega )t}dt$

$X(\omega )={\left[\frac{e^{(2-j\omega )t}}{2-j\omega }\right]}_{-\infty }^0=\frac{1}{2-j\omega }$

Pour déterminer l'énergie spectrale, il faut calculer :
$|X(\omega ){|}^2$ :
$|X(\omega ){|}^2=\frac{1}{|2-j\omega {|}^2}=\frac{1}{4+{\omega }^2}$

Pour déterminer 95% de l'énergie spectrale :

${\int }_0^B|X(\omega ){|}^{2}d\omega =0,95\times E=\frac{0,95}{4}$

Soit à résoudre : ${\int }_0^B\frac{1}{4+{\omega }^2}d\omega =\frac{0,95}{4}$

Or ${\int }_0^B\frac{1}{4+{\omega }^2}d\omega =[\frac{1}{2}{\tan }^{-1}\left(\frac{\omega }{2}\right){]}_0^B=\frac{1}{2}\left({\tan }^{-1}\left(\frac{B}{2}\right)-{\tan }^{-1}(0)\right)=\frac{1}{2}{\tan }^{-1}\left(\frac{B}{2}\right)$
Donc
$\frac{1}{2}{\tan }^{-1}\left(\frac{B}{2}\right)=\frac{0,95}{4}$

${\tan }^{-1}\left(\frac{B}{2}\right)=\frac{0,95}{2}$
Puis
$\frac{B}{2}=\tan \left(\frac{0,95}{2}\right)$

$B=2\tan \left(\frac{0,95}{2}\right)=2tan(0,475)$

Calcul à vérifier et à comprendre.