Intégration et calcul d'aire

[galois]

Salut et merci d'avance
f est la fonction définie par f(x)= x + lnx

1. tableau de variation et courbe (c'est fait)
   2)existence d'une fonction réciproque de f et sa courbe (c'est fait)
2. calculer l'intégrale entre 1 et e de f^-1 (j'ai essayé graphiquement par des raisons de symétrie mais il ya f^-1(e) qui persiste)

[Noemi]

@galois Bonsoir,

Calcul de $f^{-1}(1)$
On cherche $x$ tel que $f(x)=1$:
Soit $x+\ln x=1$
on peut estimer que $x=1$ est une solution, car $f(1)=1+\ln (1)=1$. Donc, $f^{-1}(1)=1$.

Calcul de $f^{-1}(e)$
On cherche $x$ tel que $f(x)=e$
$x+\ln x=e$

On peut estimer que $x=e-0,7$ est proche de la solution car
$f(e-0,7)=(e-0,7)+\ln (e-0,7)\approx e$

Donc $f^{-1}(e)$ est légèrement inférieur à $e-0,7$.

[galois]

@Noemi merci beaucoup mais la question veut la valeur exacte je pense

[Noemi]

@galois

Tu ne peux trouver qu'une valeur approchée pour cette équation avec ln.

[Black-Jack]

Bonjour,

Méthode non connue en Terminale :

Par la fonction W de Lambert.

$f^{-1}(x+ln(x))=W(e^x)$

${\int }_1^e{f}^{-1}(x+ln(x))dx={\int }_1^{e}W(e^x)dx$
$=\frac{1}{2}.W(e^e)\ast (W(e^e)+2)-\frac{1}{2}.W(e)\ast (W(e)+2)=2,55048007...$

Mais, je le redis, ... pas possible par cette méthode si tu es bien en Terminale.

[galois]

@Black-Jack merci beaucoup effectivement c'est pas dans notre programme