Intégration et calcul d'aire

Salut et merci d'avance
f est la fonction définie par f(x)= x + lnx

tableau de variation et courbe (c'est fait)
2)existence d'une fonction réciproque de f et sa courbe (c'est fait)
calculer l'intégrale entre 1 et e de f^-1 (j'ai essayé graphiquement par des raisons de symétrie mais il ya f^-1(e) qui persiste)

Calcul de $f^{-1}(1)$
On cherche $x$ tel que $f (x) = 1$ :
Soit $\ln x = 1$
on peut estimer que $x = 1$ est une solution, car $\ln(1) = 1$ . Donc, $f^{-1}(1) = 1$ .

Calcul de $f^{-1}(e)$
On cherche $x$ tel que $f (x) = e$
$\ln x = e$

On peut estimer que $x = e - 0, 7$ est proche de la solution car
$\ln(e - 0,7) \approx e$

Donc $f^{-1}(e)$ est légèrement inférieur à $e - 0, 7$ .

@Noemi merci beaucoup mais la question veut la valeur exacte je pense

@galois

Tu ne peux trouver qu'une valeur approchée pour cette équation avec ln.

Bonjour,

Méthode non connue en Terminale :

Par la fonction W de Lambert.

$f^{-1}(x+ln(x)) = W(e^x)$

$∫1ef−1(x+ln(x))dx=∫1eW(ex)dx\int_1^e f^{-1}(x+ln(x)) dx= \int_1^e W(e^x) dx$
$\frac{1}{2}.W(e^e) * (W(e^e)+2) - \frac{1}{2}.W(e) * (W(e)+2) = 2,55048007...$

Mais, je le redis, ... pas possible par cette méthode si tu es bien en Terminale.

@Black-Jack merci beaucoup effectivement c'est pas dans notre programme