Calcul d'intégrale impropre.

Bonjour j'ai besoin d'aide pour cet exercice que j'essaie de faire mais je n'arrive pas à m'ensortir.
Pour tout entier n \in \mathbb{N} on pose I_{n} = integrate (e ^ (nt))/((1 + e ^ t) ^ (n + 1)) dt from 0 to ∞ .

Justifier l'existence de I_{n} .
Etablir une relation de récurrence entre les I_{n}
En déduire lim n -> ∞ I_{n} .

@medou-coulibaly

Bonjour,

Pas par la méthode demandée.

Changement de variables : poser e^t = u^(1/n)

cela amène à [tex]I_n = \frac{1}{n}.\int_1^{\infty} \frac{du}{(1 + \sqrt[n]{u})^{n+1}}[/tex]

Changement de variable : Poser u = y^n

Cela amène à : [tex]I_n = \int_1^{\infty} \frac{y^{n-1}}{(1+y)^{n+1}} \ dy[/tex]

qui donne : [tex] I_n = \frac{1}{n}[(\frac{y}{1+y})^n]_1^{\infty} = \frac{1}{n}.(1 - \frac{1}{2}^n)[/tex]

Zut, je recommence ...

Bonjour,

Pas par la méthode demandée.

Changement de variables : poser e^t = u^(1/n)

cela amène à $In=1n.∫1∞du(1+un)n+1I_n = \frac{1}{n}.\int_1^{\infty} \frac{du}{(1 + \sqrt[n]{u})^{n+1}}$

Changement de variables : Poser u = y^n

Cela amène à : $dyI_n = \int_1^{\infty} \frac{y^{n-1}}{(1+y)^{n+1}} \ dy$

qui donne : $In=1n[(y1+y)n]1∞=1n.(1−12n)I_n = \frac{1}{n}[(\frac{y}{1+y})^n]_1^{\infty} = \frac{1}{n}.(1 - \frac{1}{2}^n)$

@Black-Jack ok merci et la 2 j'ai je fais mais je n'y arrive pas

Rebonjour,

J'ai toujours du mal à comprendre pourquoi on s'obstine à compliquer les choses.

Si j'ai à calculer : $∫0∞en.t(1+et)n+1dt\int_0^{\infty} \frac{e^{n.t}}{(1+e^t)^{n+1}} dt$

Je ne passe pas par des chemins longs et inutiles au risque de me tromper, on peut faire comme mon premier message ou bien encore autrement :

Changement de variables (unique ici) : Poser $et1+et=u\frac{e^t}{1+e^t} = u$

Qui donne immédiatement :
t = 0 --> u = 1/2
t = + infini --> u = 1
et aussi :
e^t = u/(1-u)

e^t.dt = du/(1-u)²
--> dt = du/(u.(1-u))

Avec 1+e^t = 1 + u/(1-u) = 1/(1-u)

On remet tout cela dans l'expression de l'intégrale et il vient :

$In=∫121un−1du=[unn]121=1−12nnI_n = \int_{\frac{1}{2}}^1 u^{n-1} du = [\frac{u^n}{n}]_{\frac{1}{2}}^{1} = \frac{1 -\frac{1}{2}^n}{n}$

Qui permet de calculer immédiatement tous les $I_n$ (même si n --> +oo)

Aucun besoin de rechercher une relation de récurrence entre les $I_n$ pour cela.

Comme c'est demandé, il faudrait essayer de le faire ... même si on peut facilement s'en passer pour calculer In.
Je n'ai pas vraiment essayé (je n'aime pas les travaux inutiles )

@medou-coulibaly Bonjour,

Question 1.
Lorsque $t$ tend vers $+∞+\infty$ ,
$e^t)^{n + 1} \sim e^{(n + 1)t}$
Donc
$ent(1+et)n+1∼ente(n+1)t=e−t\dfrac{e^{nt}}{(1 + e^t)^{n + 1}} \sim \dfrac{e^{nt}}{e^{(n + 1)t}} = e^{-t}$
L'intégrale de $e^{-t}$ sur l'intervalle $+\infty)$ converge. Donc, l'intégrale tend vers $0$ lorsque $\to +\infty$ .

Lorsque $t$ est proche de $0$ , on utilise l'approximation $et≈1+te^t \approx 1 + t$ :
Donc
$e^t)^{n + 1} \approx (2)^{n + 1}$

$ent(1+et)n+1≈ent2n+1\frac{e^{nt}}{(1 + e^t)^{n + 1}} \approx \dfrac{e^{nt}}{2^{n + 1}}$

L'intégrale de $e^{nt}$ sur l'intervalle $\varepsilon]$ est également convergente.

Conclusion $I_n$ est bien défini et converge pour tout $\in \mathbb{N}$ .
Question 2.
Pour établir une relation de récurrence on effectue une intégration par parties.
avec $\dfrac{1}{(1 + e^t)^{n+1}}$ donne $\dfrac{e^t}{(1 + e^t)^{n + 2}} dt$
et $dv = e^{nt} dt$ donne $\dfrac{e^{nt}}{n}$

$duI_n = \int_0^{\infty} u \ dv = \left[ u v \right]_0^{\infty} - \int_0^{\infty} v \ du$

Calcul des termes :
À l'infini, $\to 0$ et à l'origine $\dfrac{1}{2^{n+1}}$ ,

donc $]_0^{\infty} = 0 - \dfrac{1}{2^{n+1}} \times \dfrac{1}{n} = -\dfrac{1}{n\times2^{n+1}}$ .

et l'intégrale $∫0∞entn(−(n+1)et(1+et)n+1)dt=−(n+1n)In+1\int_0^{\infty} \dfrac{e^{nt}}{n} \left(-(n+1) \dfrac{e^t}{(1 + e^t)^{n + 1}}\right) dt = -(\dfrac{n+1}{n}) I_{n+1}$ .

On déduit
$In=−1n×2n+1+(1+1n)In+1I_n = -\dfrac{1}{n\times 2^{n+1}} + (1+\dfrac{1}{n}) I_{n + 1}$

Calculs à vérifier et à comprendre.

@Black-Jack bonsoir je n'arrive pas à vous comprendre

@Noemi Bonsoir merci beaucoup et la 3ème question

@medou-coulibaly

Tu sais que la suite est convergente, donc tu remplaces $I_{n+1}$ et $I_n$ par la limite $l$ et tu calcules la limite.

@Noemi
Ok je vais vous revenir

@Noemi je fais mais je n'arrive pas

@medou-coulibaly

Indique tes calculs.

@medou-coulibaly

A partir de l'égalité :
$In=−1n×2n+1+(1+1n)In+1I_n = -\dfrac{1}{n\times 2^{n+1}} + (1+\dfrac{1}{n}) I_{n + 1}$
Tu remplaces $I_n$ et $I_{n+1}$ par $l$
Soit
$-\dfrac{1}{n\times 2^{n+1}} + (1+\dfrac{1}{n})l$
Tu isoles $l$
Tu dois trouver :
$l=12n+1l=\dfrac{1}{2^{n+1}}$

Tu calcules la limite quand $n$ tend vers $+∞+\infty$

@Noemi je trouve 0 comme la limite !

@medou-coulibaly

C'est juste.

@Noemi ok merci beaucoup Monsieur.
On dit que je ne peux joindre madame mtschoon c'est ce que Black Jack et caseba m'ont dit ....

@medou-coulibaly

Oui, il faut respecter la décision prise par mtschoon au regard du site.

@Noemi ok d'accord