Calcul d'intégrale impropre.


  • medou coulibaly

    Bonjour j'ai besoin d'aide pour cet exercice que j'essaie de faire mais je n'arrive pas à m'ensortir.
    Pour tout entier n \in \mathbb{N} on pose I_{n} = integrate (e ^ (nt))/((1 + e ^ t) ^ (n + 1)) dt from 0 to ∞ .

    1. Justifier l'existence de I_{n} .
    2. Etablir une relation de récurrence entre les I_{n}
    3. En déduire lim n -> ∞ I_{n} .

  • B

    @medou-coulibaly

    Bonjour,

    Pas par la méthode demandée.

    Changement de variables : poser e^t = u^(1/n)

    cela amène à [tex]I_n = \frac{1}{n}.\int_1^{\infty} \frac{du}{(1 + \sqrt[n]{u})^{n+1}}[/tex]

    Changement de variable : Poser u = y^n

    Cela amène à : [tex]I_n = \int_1^{\infty} \frac{y^{n-1}}{(1+y)^{n+1}} \ dy[/tex]

    qui donne : [tex] I_n = \frac{1}{n}[(\frac{y}{1+y})^n]_1^{\infty} = \frac{1}{n}.(1 - \frac{1}{2}^n)[/tex]


  • B

    Zut, je recommence ...

    Bonjour,

    Pas par la méthode demandée.

    Changement de variables : poser e^t = u^(1/n)

    cela amène à In=1n.∫1∞du(1+un)n+1I_n = \frac{1}{n}.\int_1^{\infty} \frac{du}{(1 + \sqrt[n]{u})^{n+1}}In=n1.1(1+nu)n+1du

    Changement de variables : Poser u = y^n

    Cela amène à :In=∫1∞yn−1(1+y)n+1 dyI_n = \int_1^{\infty} \frac{y^{n-1}}{(1+y)^{n+1}} \ dyIn=1(1+y)n+1yn1 dy

    qui donne : In=1n[(y1+y)n]1∞=1n.(1−12n)I_n = \frac{1}{n}[(\frac{y}{1+y})^n]_1^{\infty} = \frac{1}{n}.(1 - \frac{1}{2}^n)In=n1[(1+yy)n]1=n1.(121n)


  • medou coulibaly

    @Black-Jack ok merci et la 2 j'ai je fais mais je n'y arrive pas


  • B

    Rebonjour,

    J'ai toujours du mal à comprendre pourquoi on s'obstine à compliquer les choses.

    Si j'ai à calculer : ∫0∞en.t(1+et)n+1dt\int_0^{\infty} \frac{e^{n.t}}{(1+e^t)^{n+1}} dt0(1+et)n+1en.tdt

    Je ne passe pas par des chemins longs et inutiles au risque de me tromper, on peut faire comme mon premier message ou bien encore autrement :

    Changement de variables (unique ici) : Poser et1+et=u\frac{e^t}{1+e^t} = u1+etet=u

    Qui donne immédiatement :
    t = 0 --> u = 1/2
    t = + infini --> u = 1
    et aussi :
    e^t = u/(1-u)

    e^t.dt = du/(1-u)²
    --> dt = du/(u.(1-u))

    Avec 1+e^t = 1 + u/(1-u) = 1/(1-u)

    On remet tout cela dans l'expression de l'intégrale et il vient :

    In=∫121un−1du=[unn]121=1−12nnI_n = \int_{\frac{1}{2}}^1 u^{n-1} du = [\frac{u^n}{n}]_{\frac{1}{2}}^{1} = \frac{1 -\frac{1}{2}^n}{n}In=211un1du=[nun]211=n121n

    Qui permet de calculer immédiatement tous les InI_nIn (même si n --> +oo)

    Aucun besoin de rechercher une relation de récurrence entre les InI_nIn pour cela.

    Comme c'est demandé, il faudrait essayer de le faire ... même si on peut facilement s'en passer pour calculer In.
    Je n'ai pas vraiment essayé (je n'aime pas les travaux inutiles 🙂 )


  • N
    Modérateurs

    @medou-coulibaly Bonjour,

    Question 1.
    Lorsque ttt tend vers +∞+\infty+,
    (1+et)n+1∼e(n+1)t(1 + e^t)^{n + 1} \sim e^{(n + 1)t}(1+et)n+1e(n+1)t
    Donc
    ent(1+et)n+1∼ente(n+1)t=e−t\dfrac{e^{nt}}{(1 + e^t)^{n + 1}} \sim \dfrac{e^{nt}}{e^{(n + 1)t}} = e^{-t}(1+et)n+1ente(n+1)tent=et
    L'intégrale de e−te^{-t}et sur l'intervalle [0,+∞)[0, +\infty)[0,+) converge. Donc, l'intégrale tend vers 000 lorsque t→+∞t \to +\inftyt+.

    Lorsque ttt est proche de 000, on utilise l'approximation et≈1+te^t \approx 1 + t et1+t:
    Donc
    (1+et)n+1≈(2)n+1(1 + e^t)^{n + 1} \approx (2)^{n + 1}(1+et)n+1(2)n+1

    ent(1+et)n+1≈ent2n+1\frac{e^{nt}}{(1 + e^t)^{n + 1}} \approx \dfrac{e^{nt}}{2^{n + 1}}(1+et)n+1ent2n+1ent

    L'intégrale de ente^{nt}ent sur l'intervalle [0,ε][0, \varepsilon][0,ε] est également convergente.

    Conclusion InI_n In est bien défini et converge pour tout n∈Nn \in \mathbb{N}nN.
    Question 2.
    Pour établir une relation de récurrence on effectue une intégration par parties.
    avec u=1(1+et)n+1u = \dfrac{1}{(1 + e^t)^{n+1}}u=(1+et)n+11 donne du=−(n+1)et(1+et)n+2dtdu = -(n+1) \dfrac{e^t}{(1 + e^t)^{n + 2}} dtdu=(n+1)(1+et)n+2etdt
    et dv=entdtdv = e^{nt} dtdv=entdt donne v=entnv = \dfrac{e^{nt}}{n}v=nent

    In=∫0∞u dv=[uv]0∞−∫0∞v duI_n = \int_0^{\infty} u \ dv = \left[ u v \right]_0^{\infty} - \int_0^{\infty} v \ duIn=0u dv=[uv]00v du

    Calcul des termes :
    À l'infini, u→0u \to 0u0 et à l'origine u=12n+1u = \dfrac{1}{2^{n+1}}u=2n+11,

    donc [uv]0∞=0−12n+1×1n=−1n×2n+1[u v ]_0^{\infty} = 0 - \dfrac{1}{2^{n+1}} \times \dfrac{1}{n} = -\dfrac{1}{n\times2^{n+1}}[uv]0=02n+11×n1=n×2n+11.

    et l'intégrale ∫0∞entn(−(n+1)et(1+et)n+1)dt=−(n+1n)In+1\int_0^{\infty} \dfrac{e^{nt}}{n} \left(-(n+1) \dfrac{e^t}{(1 + e^t)^{n + 1}}\right) dt = -(\dfrac{n+1}{n}) I_{n+1}0nent((n+1)(1+et)n+1et)dt=(nn+1)In+1.

    On déduit
    In=−1n×2n+1+(1+1n)In+1I_n = -\dfrac{1}{n\times 2^{n+1}} + (1+\dfrac{1}{n}) I_{n + 1}In=n×2n+11+(1+n1)In+1

    Calculs à vérifier et à comprendre.


  • medou coulibaly

    @Black-Jack bonsoir je n'arrive pas à vous comprendre


  • medou coulibaly

    @Noemi Bonsoir merci beaucoup et la 3ème question


  • N
    Modérateurs

    @medou-coulibaly

    Tu sais que la suite est convergente, donc tu remplaces In+1I_{n+1}In+1 et InI_nIn par la limite lll et tu calcules la limite.


  • medou coulibaly

    @Noemi
    Ok je vais vous revenir


  • medou coulibaly

    @Noemi je fais mais je n'arrive pas


  • N
    Modérateurs

    @medou-coulibaly

    Indique tes calculs.


  • N
    Modérateurs

    @medou-coulibaly

    A partir de l'égalité :
    In=−1n×2n+1+(1+1n)In+1I_n = -\dfrac{1}{n\times 2^{n+1}} + (1+\dfrac{1}{n}) I_{n + 1}In=n×2n+11+(1+n1)In+1
    Tu remplaces InI_nIn et In+1I_{n+1}In+1 par lll
    Soit
    l=−1n×2n+1+(1+1n)ll = -\dfrac{1}{n\times 2^{n+1}} + (1+\dfrac{1}{n})ll=n×2n+11+(1+n1)l
    Tu isoles lll
    Tu dois trouver :
    l=12n+1l=\dfrac{1}{2^{n+1}}l=2n+11

    Tu calcules la limite quand nnn tend vers +∞+\infty+


  • medou coulibaly

    @Noemi je trouve 0 comme la limite !


  • N
    Modérateurs

    @medou-coulibaly

    C'est juste.


  • medou coulibaly

    @Noemi ok merci beaucoup Monsieur.
    On dit que je ne peux joindre madame mtschoon 😭😭😭 c'est ce que Black Jack et caseba m'ont dit ....


  • N
    Modérateurs

    @medou-coulibaly

    Oui, il faut respecter la décision prise par mtschoon au regard du site.


  • medou coulibaly

    @Noemi ok d'accord


Se connecter pour répondre