Calcul d'intégrale impropre.
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Bonjour j'ai besoin d'aide pour cet exercice que j'essaie de faire mais je n'arrive pas à m'ensortir.
Pour tout entier n \in \mathbb{N} on pose I_{n} = integrate (e ^ (nt))/((1 + e ^ t) ^ (n + 1)) dt from 0 to ∞ .- Justifier l'existence de I_{n} .
- Etablir une relation de récurrence entre les I_{n}
- En déduire lim n -> ∞ I_{n} .
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BBlack-Jack dernière édition par Black-Jack
Bonjour,
Pas par la méthode demandée.
Changement de variables : poser e^t = u^(1/n)
cela amène à [tex]I_n = \frac{1}{n}.\int_1^{\infty} \frac{du}{(1 + \sqrt[n]{u})^{n+1}}[/tex]
Changement de variable : Poser u = y^n
Cela amène à : [tex]I_n = \int_1^{\infty} \frac{y^{n-1}}{(1+y)^{n+1}} \ dy[/tex]
qui donne : [tex] I_n = \frac{1}{n}[(\frac{y}{1+y})^n]_1^{\infty} = \frac{1}{n}.(1 - \frac{1}{2}^n)[/tex]
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BBlack-Jack dernière édition par Black-Jack
Zut, je recommence ...
Bonjour,
Pas par la méthode demandée.
Changement de variables : poser e^t = u^(1/n)
cela amène à In=1n.∫1∞du(1+un)n+1I_n = \frac{1}{n}.\int_1^{\infty} \frac{du}{(1 + \sqrt[n]{u})^{n+1}}In=n1.∫1∞(1+nu)n+1du
Changement de variables : Poser u = y^n
Cela amène à :In=∫1∞yn−1(1+y)n+1 dyI_n = \int_1^{\infty} \frac{y^{n-1}}{(1+y)^{n+1}} \ dyIn=∫1∞(1+y)n+1yn−1 dy
qui donne : In=1n[(y1+y)n]1∞=1n.(1−12n)I_n = \frac{1}{n}[(\frac{y}{1+y})^n]_1^{\infty} = \frac{1}{n}.(1 - \frac{1}{2}^n)In=n1[(1+yy)n]1∞=n1.(1−21n)
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@Black-Jack ok merci et la 2 j'ai je fais mais je n'y arrive pas
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BBlack-Jack dernière édition par Black-Jack
Rebonjour,
J'ai toujours du mal à comprendre pourquoi on s'obstine à compliquer les choses.
Si j'ai à calculer : ∫0∞en.t(1+et)n+1dt\int_0^{\infty} \frac{e^{n.t}}{(1+e^t)^{n+1}} dt∫0∞(1+et)n+1en.tdt
Je ne passe pas par des chemins longs et inutiles au risque de me tromper, on peut faire comme mon premier message ou bien encore autrement :
Changement de variables (unique ici) : Poser et1+et=u\frac{e^t}{1+e^t} = u1+etet=u
Qui donne immédiatement :
t = 0 --> u = 1/2
t = + infini --> u = 1
et aussi :
e^t = u/(1-u)e^t.dt = du/(1-u)²
--> dt = du/(u.(1-u))Avec 1+e^t = 1 + u/(1-u) = 1/(1-u)
On remet tout cela dans l'expression de l'intégrale et il vient :
In=∫121un−1du=[unn]121=1−12nnI_n = \int_{\frac{1}{2}}^1 u^{n-1} du = [\frac{u^n}{n}]_{\frac{1}{2}}^{1} = \frac{1 -\frac{1}{2}^n}{n}In=∫211un−1du=[nun]211=n1−21n
Qui permet de calculer immédiatement tous les InI_nIn (même si n --> +oo)
Aucun besoin de rechercher une relation de récurrence entre les InI_nIn pour cela.
Comme c'est demandé, il faudrait essayer de le faire ... même si on peut facilement s'en passer pour calculer In.
Je n'ai pas vraiment essayé (je n'aime pas les travaux inutiles)
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@medou-coulibaly Bonjour,
Question 1.
Lorsque ttt tend vers +∞+\infty+∞,
(1+et)n+1∼e(n+1)t(1 + e^t)^{n + 1} \sim e^{(n + 1)t}(1+et)n+1∼e(n+1)t
Donc
ent(1+et)n+1∼ente(n+1)t=e−t\dfrac{e^{nt}}{(1 + e^t)^{n + 1}} \sim \dfrac{e^{nt}}{e^{(n + 1)t}} = e^{-t}(1+et)n+1ent∼e(n+1)tent=e−t
L'intégrale de e−te^{-t}e−t sur l'intervalle [0,+∞)[0, +\infty)[0,+∞) converge. Donc, l'intégrale tend vers 000 lorsque t→+∞t \to +\inftyt→+∞.Lorsque ttt est proche de 000, on utilise l'approximation et≈1+te^t \approx 1 + t et≈1+t:
Donc
(1+et)n+1≈(2)n+1(1 + e^t)^{n + 1} \approx (2)^{n + 1}(1+et)n+1≈(2)n+1ent(1+et)n+1≈ent2n+1\frac{e^{nt}}{(1 + e^t)^{n + 1}} \approx \dfrac{e^{nt}}{2^{n + 1}}(1+et)n+1ent≈2n+1ent
L'intégrale de ente^{nt}ent sur l'intervalle [0,ε][0, \varepsilon][0,ε] est également convergente.
Conclusion InI_n In est bien défini et converge pour tout n∈Nn \in \mathbb{N}n∈N.
Question 2.
Pour établir une relation de récurrence on effectue une intégration par parties.
avec u=1(1+et)n+1u = \dfrac{1}{(1 + e^t)^{n+1}}u=(1+et)n+11 donne du=−(n+1)et(1+et)n+2dtdu = -(n+1) \dfrac{e^t}{(1 + e^t)^{n + 2}} dtdu=−(n+1)(1+et)n+2etdt
et dv=entdtdv = e^{nt} dtdv=entdt donne v=entnv = \dfrac{e^{nt}}{n}v=nentIn=∫0∞u dv=[uv]0∞−∫0∞v duI_n = \int_0^{\infty} u \ dv = \left[ u v \right]_0^{\infty} - \int_0^{\infty} v \ duIn=∫0∞u dv=[uv]0∞−∫0∞v du
Calcul des termes :
À l'infini, u→0u \to 0u→0 et à l'origine u=12n+1u = \dfrac{1}{2^{n+1}}u=2n+11,donc [uv]0∞=0−12n+1×1n=−1n×2n+1[u v ]_0^{\infty} = 0 - \dfrac{1}{2^{n+1}} \times \dfrac{1}{n} = -\dfrac{1}{n\times2^{n+1}}[uv]0∞=0−2n+11×n1=−n×2n+11.
et l'intégrale ∫0∞entn(−(n+1)et(1+et)n+1)dt=−(n+1n)In+1\int_0^{\infty} \dfrac{e^{nt}}{n} \left(-(n+1) \dfrac{e^t}{(1 + e^t)^{n + 1}}\right) dt = -(\dfrac{n+1}{n}) I_{n+1}∫0∞nent(−(n+1)(1+et)n+1et)dt=−(nn+1)In+1.
On déduit
In=−1n×2n+1+(1+1n)In+1I_n = -\dfrac{1}{n\times 2^{n+1}} + (1+\dfrac{1}{n}) I_{n + 1}In=−n×2n+11+(1+n1)In+1Calculs à vérifier et à comprendre.
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@Black-Jack bonsoir je n'arrive pas à vous comprendre
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@Noemi Bonsoir merci beaucoup et la 3ème question
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Tu sais que la suite est convergente, donc tu remplaces In+1I_{n+1}In+1 et InI_nIn par la limite lll et tu calcules la limite.
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@Noemi
Ok je vais vous revenir
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@Noemi je fais mais je n'arrive pas
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Indique tes calculs.
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A partir de l'égalité :
In=−1n×2n+1+(1+1n)In+1I_n = -\dfrac{1}{n\times 2^{n+1}} + (1+\dfrac{1}{n}) I_{n + 1}In=−n×2n+11+(1+n1)In+1
Tu remplaces InI_nIn et In+1I_{n+1}In+1 par lll
Soit
l=−1n×2n+1+(1+1n)ll = -\dfrac{1}{n\times 2^{n+1}} + (1+\dfrac{1}{n})ll=−n×2n+11+(1+n1)l
Tu isoles lll
Tu dois trouver :
l=12n+1l=\dfrac{1}{2^{n+1}}l=2n+11Tu calcules la limite quand nnn tend vers +∞+\infty+∞
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@Noemi je trouve 0 comme la limite !
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C'est juste.
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@Noemi ok merci beaucoup Monsieur.
On dit que je ne peux joindre madame mtschoonc'est ce que Black Jack et caseba m'ont dit ....
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Oui, il faut respecter la décision prise par mtschoon au regard du site.
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@Noemi ok d'accord