Calcul d'intégrale impropre

[medou coulibaly]

Discuter la nature de cette intégrale impropre suivante selon la valeur de alpha \in \mathbb{R}

1. I = integrate x ^ alpha * ln(x + e ^ (alpha*x)) dx from 0 to ∞

[Noemi]

@medou-coulibaly Bonjour, (Marque de politesse à ne pas oublier!!)

Il serait bien que tu termines les autres exercices avant d'en proposer un autre.
Comme déjà indiqué, propose tes premiers calculs.

[medou coulibaly]

@Noemi ok d'accord

[Noemi]

@medou-coulibaly

Tu étudies le comportement de l'intégrande aux limites $x\to 0$ et $x\to +\infty$.

Lorsque $x$ est proche de $0$, tu utilises l'approximation suivante :
$\ln (x+e^{\alpha x})\approx \ln (e^{\alpha x})=\alpha x$

Ainsi, l'intégrande se comporte comme :
$x^{\alpha }\ln (x+e^{\alpha x})\approx x^{\alpha }(\alpha x)=\alpha x^{\alpha +1}$

Pour que l'intégrale converge lorsque $x\to 0$, il faut que :
$\alpha +1>-1\Rightarrow \alpha >-2$

Lorsque $x$ est grand, on peut également utiliser l'approximation :
$\ln (x+e^{\alpha x})\approx \ln (e^{\alpha x})=\alpha x$

Dans ce cas, l'intégrande se comporte comme :
$x^{\alpha }\ln (x+e^{\alpha x})\approx x^{\alpha }(\alpha x)=\alpha x^{\alpha +1}$

Pour que l'intégrale converge à $x\to +\infty$, il faut que :
$\alpha +1<-1\Rightarrow \alpha <-2$

En résumé, l'intégrale $I={\int }_0^{\infty }{x}^{\alpha }\ln (x+e^{\alpha x})dx$ converge dans les cas suivants :
Convergence à $x\to 0$ : $\alpha >-2$
Convergence à $x\to +\infty$ : $\alpha <-2$

Ainsi, pour que l'intégrale converge, il faut que :
$\alpha >-2\text{et}\alpha <-2$

Conclusion l'intégrale diverge pour toutes les valeurs de $\alpha \in \mathbb{R}$.

Démonstration et calculs à vérifier et à comprendre.

[medou coulibaly]

@Noemi Bonjour Monsieur, j'ai compris merci je vais bien reprendre