Calcul d'intégrale impropre

Bonsoir j'espère que vous allez bien, j'ai besoin d'aide pour cet exercice.
Discuter la nature des intégrales impropres suivantes selon la valeur de alpha \in \mathbb{R}
I = integrate (ln|x|)/(root(x(x + 1), 3)) dx from alpha to ∞

@medou-coulibaly Bonsoir,

Applique le même raisonnement que l'exercice précédent.
Indique tes calculs.

@Noemi ok je vais vous revenir

@Noemi Rebonsoir je n'arrive à démarrer je ne comprends pas

@medou-coulibaly

Lorsque $x$ tend vers $+∞+\infty$ , tu simplifies l'intégrande :

$x(x+1)3∼x23=x2/3\sqrt[3]{x(x + 1)} \sim \sqrt[3]{x^2} = x^{2/3}$ .
Donc, pour $x$ grand :
$ln⁡∣x∣x(x+1)3∼ln⁡xx2/3\dfrac{\ln |x|}{\sqrt[3]{x(x + 1)}} \sim \frac{\ln x}{x^{2/3}}$ .

Je te laisse poursuivre.

@Noemi je simplifie l'intégrale , là je ne vous comprends pas bien

@medou-coulibaly

As-tu compris l'autre exercice ?

C'est une approximation de la fonction pour $x$ grand.

@Noemi non non pas trop je suis là reprendre

@medou-coulibaly a dit dans Calcul d'intégrale impropre :

Discuter la nature des intégrales impropres

Bonjour,

Sais-tu exactement ce que signifie "Discuter la nature d'une intégrale impropre" ?

Si oui, explique le ici, sur le site, avec tes mots.
Juste pour voir si tu as bien compris.

@Black-Jack discuter c'est échanger des idées ou bien j'ai tors ?

@medou-coulibaly a dit dans Calcul d'intégrale impropre :

@Black-Jack discuter c'est échanger des idées ou bien j'ai tors ?

Ce que je voudrais savoir, c'est si tu as bien compris ce qui t'est demandé.
Donc ... que signifie "Discuter la nature d'une intégrale impropre"

D'après certaines de tes interventions (dans cette question et quelques autres), je ne suis pas sûr du tout que tu aies bien interprété de qu'on attend de toi avec "Discuter la nature d'une intégrale impropre"

Explique donc ce que cela signifie pour toi ...

On pourra alors voir si tu ne sais pas répondre parce que tu n'as pas compris ce qui est demandé ou bien si c'est un soucis seulement dans le cadre de l'intégrale donnée dans le sujet... et seulement alors, on pourra t'aider de manière appropriée.

@medou-coulibaly

Tu n'as pas répondu aux questions, c'est dommage.

Pour analyser la convergence de l'intégrale impropre proposée soit :
$\int_{\alpha}^{\infty} \dfrac{\ln|x|}{\sqrt[3]{x(x + 1)}} \ dx$

Tu dois étudier le comportement de l'intégrande pour des valeurs de $x$ lorsque $\to \infty$ et aussi pour les valeurs de $α\alpha$ .

Lorsque $\to \infty$ on peut écrire :
$x(x+1)3∼x23=x2/3\sqrt[3]{x(x + 1)} \sim \sqrt[3]{x^2} = x^{2/3}$
Donc, l'intégrande peut être approximé par :
$ln⁡∣x∣x(x+1)3∼ln⁡∣x∣x2/3\dfrac{\ln|x|}{\sqrt[3]{x(x + 1)}} \sim \dfrac{\ln|x|}{x^{2/3}}$

Tu étudies alors la convergence de l'intégrale :
$dx\int \dfrac{\ln|x|}{x^{2/3}} \ dx$
Tu utilises le test de comparaison.
Comme $ln⁡∣x∣\ln|x|$ croît plus lentement que toute puissance de $x$

$ln⁡∣x∣x2/3<1x2/3\dfrac{\ln|x|}{x^{2/3}} \lt \dfrac{1}{x^{2/3}}$ .

L'intégrale $dx\int \dfrac{1}{x^{p}} \ dx$ converge quand $\gt 1$ or $\lt 1$ , donc cette intégrale diverge.
Conclusion L'intégrale $I$ diverge lorsque $\to \infty$ .

Etude pour des valeurs de $α\alpha$
Par exemple, si $α\alpha$ est proche de $0$ , alors :
$x→0+\ln|x| \to -\infty \text{ quand } x \to 0^+$ ,
et $x(x+1)3\sqrt[3]{x(x + 1)}$ se comporte comme $x3\sqrt[3]{x}$ . Donc :

$ln⁡∣x∣x(x+1)3∼ln⁡∣x∣x3\dfrac{\ln|x|}{\sqrt[3]{x(x + 1)}} \sim \dfrac{\ln|x|}{\sqrt[3]{x}}$ .

L'intégrale de $ln⁡∣x∣x3\dfrac{\ln|x|}{\sqrt[3]{x}}$ diverge en raison du logarithme qui tend vers $−∞-\infty$ .

Je te laisse conclure.

Démonstration à vérifier et à comprendre.

@Noemi Bonjour Monsieur Monsieur merci beaucoup c'est compris.