Calcul d'intégrale impropre


  • medou coulibaly

    Bonsoir j'espère que vous allez bien, j'ai besoin d'aide pour cet exercice.
    Discuter la nature des intégrales impropres suivantes selon la valeur de alpha \in \mathbb{R}
    I = integrate (ln|x|)/(root(x(x + 1), 3)) dx from alpha to ∞


  • N
    Modérateurs

    @medou-coulibaly Bonsoir,

    Applique le même raisonnement que l'exercice précédent.
    Indique tes calculs.


  • medou coulibaly

    @Noemi ok je vais vous revenir


  • medou coulibaly

    @Noemi Rebonsoir je n'arrive à démarrer je ne comprends pas


  • N
    Modérateurs

    @medou-coulibaly

    Lorsque xxx tend vers +∞+\infty+, tu simplifies l'intégrande :

    x(x+1)3∼x23=x2/3\sqrt[3]{x(x + 1)} \sim \sqrt[3]{x^2} = x^{2/3}3x(x+1)3x2=x2/3.
    Donc, pour xxx grand :
    ln⁡∣x∣x(x+1)3∼ln⁡xx2/3\dfrac{\ln |x|}{\sqrt[3]{x(x + 1)}} \sim \frac{\ln x}{x^{2/3}}3x(x+1)lnxx2/3lnx.

    Je te laisse poursuivre.


  • medou coulibaly

    @Noemi je simplifie l'intégrale , là je ne vous comprends pas bien


  • N
    Modérateurs

    @medou-coulibaly

    As-tu compris l'autre exercice ?

    C'est une approximation de la fonction pour xxx grand.


  • medou coulibaly

    @Noemi non non pas trop je suis là reprendre


  • B

    @medou-coulibaly a dit dans Calcul d'intégrale impropre :

    Discuter la nature des intégrales impropres

    Bonjour,

    Sais-tu exactement ce que signifie "Discuter la nature d'une intégrale impropre" ?

    Si oui, explique le ici, sur le site, avec tes mots.
    Juste pour voir si tu as bien compris.


  • medou coulibaly

    @Black-Jack discuter c'est échanger des idées ou bien j'ai tors ?


  • B

    @medou-coulibaly a dit dans Calcul d'intégrale impropre :

    @Black-Jack discuter c'est échanger des idées ou bien j'ai tors ?

    Ce que je voudrais savoir, c'est si tu as bien compris ce qui t'est demandé.
    Donc ... que signifie "Discuter la nature d'une intégrale impropre"

    D'après certaines de tes interventions (dans cette question et quelques autres), je ne suis pas sûr du tout que tu aies bien interprété de qu'on attend de toi avec "Discuter la nature d'une intégrale impropre"

    Explique donc ce que cela signifie pour toi ...

    On pourra alors voir si tu ne sais pas répondre parce que tu n'as pas compris ce qui est demandé ou bien si c'est un soucis seulement dans le cadre de l'intégrale donnée dans le sujet... et seulement alors, on pourra t'aider de manière appropriée.


  • N
    Modérateurs

    @medou-coulibaly

    Tu n'as pas répondu aux questions, c'est dommage.

    Pour analyser la convergence de l'intégrale impropre proposée soit :
    I=∫α∞ln⁡∣x∣x(x+1)3 dxI = \int_{\alpha}^{\infty} \dfrac{\ln|x|}{\sqrt[3]{x(x + 1)}} \ dxI=α3x(x+1)lnx dx

    Tu dois étudier le comportement de l'intégrande pour des valeurs de xxx lorsque x→∞x \to \inftyx et aussi pour les valeurs de α\alphaα.

    Lorsque x→∞x \to \inftyx on peut écrire :
    x(x+1)3∼x23=x2/3\sqrt[3]{x(x + 1)} \sim \sqrt[3]{x^2} = x^{2/3}3x(x+1)3x2=x2/3
    Donc, l'intégrande peut être approximé par :
    ln⁡∣x∣x(x+1)3∼ln⁡∣x∣x2/3\dfrac{\ln|x|}{\sqrt[3]{x(x + 1)}} \sim \dfrac{\ln|x|}{x^{2/3}}3x(x+1)lnxx2/3lnx

    Tu étudies alors la convergence de l'intégrale :
    ∫ln⁡∣x∣x2/3 dx\int \dfrac{\ln|x|}{x^{2/3}} \ dxx2/3lnx dx
    Tu utilises le test de comparaison.
    Comme ln⁡∣x∣\ln|x|lnx croît plus lentement que toute puissance de xxx

    ln⁡∣x∣x2/3<1x2/3\dfrac{\ln|x|}{x^{2/3}} \lt \dfrac{1}{x^{2/3}}x2/3lnx<x2/31.

    L'intégrale ∫1xp dx\int \dfrac{1}{x^{p}} \ dxxp1 dx converge quand p>1p \gt 1p>1 or p=2/3<1p = 2/3 \lt 1 p=2/3<1, donc cette intégrale diverge.
    Conclusion L'intégrale III diverge lorsque x→∞x \to \inftyx.

    Etude pour des valeurs de α\alphaα
    Par exemple, si α\alphaα est proche de 000, alors :
    ln⁡∣x∣→−∞ quand x→0+\ln|x| \to -\infty \text{ quand } x \to 0^+lnx quand x0+,
    et x(x+1)3\sqrt[3]{x(x + 1)}3x(x+1) se comporte comme x3\sqrt[3]{x}3x . Donc :

    ln⁡∣x∣x(x+1)3∼ln⁡∣x∣x3\dfrac{\ln|x|}{\sqrt[3]{x(x + 1)}} \sim \dfrac{\ln|x|}{\sqrt[3]{x}}3x(x+1)lnx3xlnx.

    L'intégrale de ln⁡∣x∣x3\dfrac{\ln|x|}{\sqrt[3]{x}}3xlnx diverge en raison du logarithme qui tend vers −∞-\infty.

    Je te laisse conclure.

    Démonstration à vérifier et à comprendre.


  • medou coulibaly

    @Noemi Bonjour Monsieur Monsieur merci beaucoup c'est compris.


Se connecter pour répondre