Convergence d'une série
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z lbn dernière édition par
Bonjour, pouvez-vous vérifier la preuve que j'ai écrite pour l'exercice suivant ? En vous remerciant.
Énoncé : Montrer la convergence de la série ∑ (−1)nn−x\displaystyle\sum\ \dfrac{(-1)^n}{n-x}∑ n−x(−1)n où x∈R\Nx \in \mathbb{R} \backslash \mathbb{N}x∈R\N
Ma réponse :
Soit n∈N∗n \in \mathbb{N}^*n∈N∗. On a (−1)nn−x=(−1)nn[11−xn]=(−1)nn+(−1)nxn2+o(1n2)\dfrac{(-1)^n}{n-x} = \dfrac{(-1)^n}{n} \biggl[ \dfrac{1}{1 - \frac{x}{n}} \biggr] = \dfrac{(-1)^n}{n} + \dfrac{(-1)^n x}{n^2} + o \biggl( \dfrac{1}{n^2} \biggr) n−x(−1)n=n(−1)n[1−nx1]=n(−1)n+n2(−1)nx+o(n21)
Soit (w,v)∈(RN)2(w,v) \in \bigl( \mathbb{R}^\mathbb{N} \bigr)^2(w,v)∈(RN)2 les suites définies par
∀n∈N∗,vn=(−1)nn\forall n \in \mathbb{N}^*, v_n = \dfrac{(-1)^n}{n}∀n∈N∗,vn=n(−1)n et wn=(−1)nxn2+o(1n2)w_n = \dfrac{(-1)^n x}{n^2} + o \biggl( \dfrac{1}{n^2} \biggr)wn=n2(−1)nx+o(n21)On a que ∑ vn\displaystyle\sum\ v_n ∑ vn est CV (on l'a montré dans notre cours en utilisant les suites extraites)
On a (−1)nxn2=o(1n32)\dfrac{(-1)^n x}{n^2} = o \biggl( \dfrac{1}{n^\frac{3}{2}} \biggr)n2(−1)nx=o(n231) en effet on a (−1)nxn21n32=(−1)nxn12\dfrac{\frac{(-1)^n x}{n^2}}{\frac{1}{n^\frac{3}{2}} } = \dfrac{(-1)^n x}{n^\frac{1}{2}}n231n2(−1)nx=n21(−1)nx et limn→+∞ (−1)nxn12=0\lim\limits_{n \to +\infty}\ \dfrac{(-1)^n x}{n^\frac{1}{2}} = 0n→+∞lim n21(−1)nx=0 donc wn=o(1n32)+o(1n2)=o(1n32)w_n = o \biggl( \dfrac{1}{n^\frac{3}{2}} \biggr) + o \biggl( \dfrac{1}{n^2} \biggr) = o \biggl( \dfrac{1}{n^\frac{3}{2}} \biggr) wn=o(n231)+o(n21)=o(n231).
On a que ∑1n32\displaystyle\sum \dfrac{1}{n^\frac{3}{2}} ∑n231 est CV et (1n32)≥0\biggl( \dfrac{1}{n^\frac{3}{2}} \biggr) \geq 0 (n231)≥0 donc ∑ wn\displaystyle\sum\ w_n∑ wn est CV
donc, on en déduit que ∑ (vn+wn)\displaystyle\sum\ (v_n + w_n) ∑ (vn+wn) est CV, d'où le résultat.
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BBlack-Jack dernière édition par
Bonjour,
As-tu étudié le théorème de Leibniz ?
Il dit ceci :
Si dans une série alternée u1 - u2 + u3 - u4 + ... , les modules des termes vont en décroissant (donc |u1| > |u2| > |u3| > ... et si limn→∞un=0lim_{n\to \infty} u_n = 0limn→∞un=0, la série converge.
Dans l'exercice, à partir du terme où (n - x) > 0, on montre facilement qu'on est dans le cas de théorème de Leibniz ... donc la série converge.
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z lbn dernière édition par
Bonjour,
On a sans doute dû voir le théorème dont vous parlez sous le nom de "critère spécial de convergence des séries alternées", c'est d'ailleurs ce que le corrigé de l'exercice utilise (et je n'ai pas utilisé cette méthode) ! Du coup, est-ce-que le raisonnement que je propose est correct ?
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@z-lbn Bonjour,
La démonstration est correcte.
Tu peux éventuellement indiquer que la convergence est conditionnelle car ∑(−1)nn\sum \frac{(-1)^n}{n}∑n(−1)n est conditionnellement convergente et que la série ne converge pas absolument à cause du terme principal 1/n1/n1/n.
