3. Exercice fonction et variation

Exercice fonction et variation

  • M

    Bonjour
    Pouvez vois m aider et le guider merci

    On considère la fonction f defini sur R par : f(x)= (x-3) au carre +1
    Soient à et b deux nombres réels

    1. Montrer que f(b)-f(a)= (b-a)(a+b-6)

    2. on suppose que a<b<ou egale 3
      a) quel est le signe de a+b-6? Et celui de b-a?
      b) en déduire le signe f(b)-f(a)
      C) en utilisant la définition du sens de variation d une fonction justifie que la fonction f est croissante sur l intervalle[3;+infini[

    N M 2 réponses
  • N
    Modérateurs

    @m12 Bonjour,

    1. Calcule f(b)−f(a)f(b)-f(a)f(b)−f(a) et utilise les identités remarquables.
  • M

    @m12 a dit dans Exercice fonction et variation :

    Bonjour
    Pouvez vois m aider et le guider merci

    On considère la fonction f defini sur R par : f(x)= (x-3) au carre +1
    Soient à et b deux nombres réels

    1. Montrer que f(b)-f(a)= (b-a)(a+b-6)

    2. on suppose que a<b<ou egale 3
      a) quel est le signe de a+b-6? Et celui de b-a?
      b) en déduire le signe f(b)-f(a)
      C) en utilisant la définition du sens de variation d une fonction justifie que la fonction f est croissante sur l intervalle[3;+infini[

    J ai commencé pour le 1
    f(x) = (x-3) au carre +1
    Donc f(a)= ( a-3)au carre +1 j appliqué identité remarquable
    a au carre-2×a×3aucarre,+1au carre
    a carre- 6a+9+1
    a carre-6a+10

    f(b)=(b-3) au carre+1
    Et je fais pareil

    N 1 réponse
  • N
    Modérateurs

    @m12

    Tu pourrais faire directement f(b)−f(a)f(b)-f(a)f(b)−f(a)
    soit f(b)−f(a)=(b−3)2+1−(a−3)2−1=(b−3)2−(a−3)2f(b)-f(a)=(b-3)^2+1 -(a-3)^2-1= (b-3)^2-(a-3)^2f(b)−f(a)=(b−3)2+1−(a−3)2−1=(b−3)2−(a−3)2
    Il reste à factoriser en utilisant l'identité remarquable x2−y2=(x−y)(x+y)x^2-y^2=(x-y)(x+y)x2−y2=(x−y)(x+y)

    Tu peux aussi utiliser ta méthode :
    f(a)=a2−6a+10f(a)=a^2-6a+10f(a)=a2−6a+10
    f(b)=b2−6b+10f(b)= b^2-6b+10f(b)=b2−6b+10
    f(b)−f(a)=b2−6b−a2+6af(b)-f(a)= b^2-6b-a^2+6af(b)−f(a)=b2−6b−a2+6a
    puis tu factorises : b2−a2=....b^2-a^2= ....b2−a2=.... ; −6b+6a=−6(...)-6b+6a=-6(...)−6b+6a=−6(...)

    Je te laisse poursuivre, je regarderai tes calculs en fin de journée.

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  • M

    @Noemi a dit dans Exercice fonction et variation :

    @m12

    Tu pourrais faire directement f(b)−f(a)f(b)-f(a)f(b)−f(a)
    soit f(b)−f(a)=(b−3)2+1−(a−3)2−1=(b−3)2−(a−3)2f(b)-f(a)=(b-3)^2+1 -(a-3)^2-1= (b-3)^2-(a-3)^2f(b)−f(a)=(b−3)2+1−(a−3)2−1=(b−3)2−(a−3)2
    Il reste à factoriser en utilisant l'identité remarquable x2−y2=(x−y)(x+y)x^2-y^2=(x-y)(x+y)x2−y2=(x−y)(x+y)

    Tu peux aussi utiliser ta méthode :
    f(a)=a2−6a+10f(a)=a^2-6a+10f(a)=a2−6a+10
    f(b)=b2−6b+10f(b)= b^2-6b+10f(b)=b2−6b+10
    f(b)−f(a)=b2−6b−a2+6af(b)-f(a)= b^2-6b-a^2+6af(b)−f(a)=b2−6b−a2+6a
    puis tu factorises.

    Sa fait pas pareil ma méthode?
    Après je faisait
    [(B-3)carre+1] - [(a-3) carre +1
    (B-3)carre +1 - a-3 carre -1
    (B-3) carre- (a-3) carre

    Puis
    (B-3) carre-(a-3) carre= (b-3)-(a-3)×(b-3)+(a-3)
    -3 er +3 s annule
    Donc
    B-axb+a'6

    N 1 réponse
  • N
    Modérateurs

    @m12

    Avec ta méthode tu dois trouver le même résultat.
    f(b)−f(a)=(b−3)2−(a−3)2=(b−3−a+3)(b−3+a−3)=...f(b)-f(a)= (b-3)^2-(a-3)^2= (b-3-a+3)(b-3+a-3)= ...f(b)−f(a)=(b−3)2−(a−3)2=(b−3−a+3)(b−3+a−3)=...
    ou
    f(b)−f(a)=b2−a2−6b+6a=(b−a)(b+a)−6(b−a)=(b−a)(....)f(b)-f(a)=b^2-a^2-6b+6a=(b-a)(b+a)-6(b-a)= (b-a)( ....)f(b)−f(a)=b2−a2−6b+6a=(b−a)(b+a)−6(b−a)=(b−a)(....)

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  • M

    @Noemi a dit dans Exercice fonction et variation :

    @m12

    Avec ta méthode tu dois trouver le même résultat.
    f(b)−f(a)=(b−3)2−(a−3)2=(b−3−a+3)(b−3+a−3)=...f(b)-f(a)= (b-3)^2-(a-3)^2= (b-3-a+3)(b-3+a-3)= ...f(b)−f(a)=(b−3)2−(a−3)2=(b−3−a+3)(b−3+a−3)=...
    ou
    f(b)−f(a)=b2−a2−6b+6a=(b−a)(b+a)−6(b−a)=(b−a)(....)f(b)-f(a)=b^2-a^2-6b+6a=(b-a)(b+a)-6(b-a)= (b-a)( ....)f(b)−f(a)=b2−a2−6b+6a=(b−a)(b+a)−6(b−a)=(b−a)(....)

    Oui (a+b-6)
    Je file je reprends tout à l heure

    M N 2 réponses
  • M

    @m12 a dit dans Exercice fonction et variation :

    @Noemi a dit dans Exercice fonction et variation :

    @m12

    Avec ta méthode tu dois trouver le même résultat.
    f(b)−f(a)=(b−3)2−(a−3)2=(b−3−a+3)(b−3+a−3)=...f(b)-f(a)= (b-3)^2-(a-3)^2= (b-3-a+3)(b-3+a-3)= ...f(b)−f(a)=(b−3)2−(a−3)2=(b−3−a+3)(b−3+a−3)=...
    ou
    f(b)−f(a)=b2−a2−6b+6a=(b−a)(b+a)−6(b−a)=(b−a)(....)f(b)-f(a)=b^2-a^2-6b+6a=(b-a)(b+a)-6(b-a)= (b-a)( ....)f(b)−f(a)=b2−a2−6b+6a=(b−a)(b+a)−6(b−a)=(b−a)(....)

    Oui (a+b-6)
    Je file je reprends tout à l heure

    Donc j ai refait
    F(a)= (a-3)carre+1
    F,à = à carre-2×ax3 +3carre +1
    Fa = à carre-6a+10

    F(b) = ( b-3) carre +1
    Fb = b carre -6b+10

    Ensuite
    (B-a)(a+b-6)
    [(B-3)carre +1] -[(×a-3)carre +1]
    [(B-3 carre +1 -(a-3carre -1
    (B-3 )carre - (a-3)carre

    Puis
    (B-3)carre-(a-3)carre
    (B-3)-(a-3)×(b-3)+(a-3)
    B-3 -a+3 × b-3+a-3
    (B-a)(a+b-6)

  • N
    Modérateurs

    @m12

    C'est correct mais il manque des crochets.

    M 2 réponses
  • M

    @Noemi a dit dans Exercice fonction et variation :

    @m12

    C'est correct mais il manque des crochets.

    C'est bon j'ai toit refait

  • M

    @Noemi a dit dans Exercice fonction et variation :

    @m12

    C'est correct mais il manque des crochets.

    OK merci
    Et pour le 2) de l Exercice
    a) quel est le signe de a+b-6? Et celui de b-a
    B) en déduire le signe de f(b)-f(a,)
    C) en utilisant la def du sens de variation justifi que la fonction f est décroissante sur intervalle ]-infini;3]

    N 1 réponse
  • N
    Modérateurs

    @m12

    Pour la deuxième question, utilise l'inégalité : a<b≤3a\lt b\le 3a<b≤3
    a<3a\lt3a<3 et b≤3b\le3b≤3 induit a+b<3+3a+b \lt3+3a+b<3+3
    soit a+b−6<....a+b-6 \lt ....a+b−6<....

    M 1 réponse
  • M

    @Noemi a dit dans Exercice fonction et variation :

    @m12

    Pour la deuxième question, utilise l'inégalité : a<b≤3a\lt b\le 3a<b≤3
    a<3a\lt3a<3 et b≤3b\le3b≤3 induit a+b<3+3a+b \lt3+3a+b<3+3
    soit a+b−6<....a+b-6 \lt ....a+b−6<....

    @Noemi a dit dans Exercice fonction et variation :

    @m12

    Pour la deuxième question, utilise l'inégalité : a<b≤3a\lt b\le 3a<b≤3
    a<3a\lt3a<3 et b≤3b\le3b≤3 induit a+b<3+3a+b \lt3+3a+b<3+3
    soit a+b−6<....a+b-6 \lt ....a+b−6<....

    Alors j ai fait

    On sait que a<b<,ou égale 3
    Donc la valeur max de b est 3 car b<égale 3 et à la valeur de à est moins que 3 car a<3
    Donc a+b<3+3
    a+b-6<0
    Donc c'est négatif

    Pour le signe de b-a c'est positif car b est plus grand que a

    N 1 réponse
  • N
    Modérateurs

    @m12

    C'est correct.

    M 1 réponse
  • M

    @Noemi a dit dans Exercice fonction et variation :

    @m12

    C'est correct.

    Merci
    Ensuite faut établir tableau de variation de f

    X -infini 3 + infini

    F(x) fleche descent 1 fleche monte

    N 1 réponse
  • N
    Modérateurs

    @m12

    Le tableau est juste, mais il faut rappeler la définition du sens de variation d'une fonction. Donc indiquer que sur l'intervalle ]−∞;3[]-\infty ; 3[]−∞;3[ ; avec b>ab \gt ab>a, f(b)−f(a)<0f(b)-f(a) \lt0f(b)−f(a)<0 donc la fonction est décroissante sur cet intervalle.
    Indiquer ensuite les coordonnées du sommet de la parabole S(..;...)S (.. ; ...)S(..;...)
    puis vu que la fonction est une parabole, elle est donc croissante sur l'intervalle : ]3:+∞[]3: +\infty[]3:+∞[.

    M 1 réponse
  • M

    @Noemi a dit dans Exercice fonction et variation :

    @m12

    Tu pourrais faire directement f(b)−f(a)f(b)-f(a)f(b)−f(a)
    soit f(b)−f(a)=(b−3)2+1−(a−3)2−1=(b−3)2−(a−3)2f(b)-f(a)=(b-3)^2+1 -(a-3)^2-1= (b-3)^2-(a-3)^2f(b)−f(a)=(b−3)2+1−(a−3)2−1=(b−3)2−(a−3)2
    Il reste à factoriser en utilisant l'identité remarquable x2−y2=(x−y)(x+y)x^2-y^2=(x-y)(x+y)x2−y2=(x−y)(x+y)

    Tu peux aussi utiliser ta méthode :
    f(a)=a2−6a+10f(a)=a^2-6a+10f(a)=a2−6a+10
    f(b)=b2−6b+10f(b)= b^2-6b+10f(b)=b2−6b+10
    f(b)−f(a)=b2−6b−a2+6af(b)-f(a)= b^2-6b-a^2+6af(b)−f(a)=b2−6b−a2+6a
    puis tu factorises : b2−a2=....b^2-a^2= ....b2−a2=.... ; −6b+6a=−6(...)-6b+6a=-6(...)−6b+6a=−6(...)

    Je te laisse poursuivre, je regarderai tes calculs en fin de journée.

    Je reviens sur ça mais fu coup si je factorise
    Sa donne b carre- a carre = b-a× b+a
    Et -6b+6a= 6( ba)

    N 1 réponse
  • N
    Modérateurs

    @m12

    f(a)=a2−6a+10f(a)=a^2-6a+10f(a)=a2−6a+10
    f(b)=b2−6b+10f(b)= b^2-6b+10f(b)=b2−6b+10
    f(b)−f(a)=b2−6b−a2+6af(b)-f(a)= b^2-6b-a^2+6af(b)−f(a)=b2−6b−a2+6a
    puis tu factorises : b2−a2=(b−a)(b+a)b^2-a^2= (b-a)(b+a)b2−a2=(b−a)(b+a) ; −6b+6a=−6(b−a)-6b+6a=-6(b-a)−6b+6a=−6(b−a)
    f(b)−f(a)=(b−a)(b+a)−6(b−a)=(b−a)(b+a−6)f(b)-f(a)=(b-a)(b+a)-6(b-a)= (b-a)(b+a-6)f(b)−f(a)=(b−a)(b+a)−6(b−a)=(b−a)(b+a−6)
    que l'on peut écrire (b−a)(a+b−6)(b-a)(a+b-6)(b−a)(a+b−6)

  • M

    @Noemi a dit dans Exercice fonction et variation :

    @m12

    Le tableau est juste, mais il faut rappeler la définition du sens de variation d'une fonction. Donc indiquer que sur l'intervalle ]−∞;3[]-\infty ; 3[]−∞;3[ ; avec b>ab \gt ab>a, f(b)−f(a)<0f(b)-f(a) \lt0f(b)−f(a)<0 donc la fonction est décroissante sur cet intervalle.
    Indiquer ensuite les coordonnées du sommet de la parabole S(..;...)S (.. ; ...)S(..;...)
    puis vu que la fonction est une parabole, elle est donc croissante sur l'intervalle : ]3:+∞[]3: +\infty[]3:+∞[.

    OK
    Après j ai aussi
    On suppose que 3<égale a<b
    Quel est le signe de a+b-6

    Et celui de b-a

    En déduite le signe f(b)-f(a)

    N 2 réponses
  • N
    Modérateurs

    @m12

    Tu appliques le même raisonnement que celui de la question 2.

    Question : L'énoncé que tu as écris pour la question 2 c) est celui de la question 3 c) ?
    Si oui, pour la question 2 c) il suffit de répondre que sur l'intervalle ]−∞;3[]-\infty ; 3[]−∞;3[, f(b)−f(a)<0f(b)-f(a)\lt0f(b)−f(a)<0 avec b>ab \gt ab>a donc la fonction est décroissante.

  • N
    Modérateurs

    @m12

    A partir de l'inégalité : 3≤a<b3 \le a\lt b3≤a<b
    3≤a3\le a3≤a et 3<b3\lt b3<b tu déduis 6<a+b6 \lt a+b6<a+b
    soit a+b−6>....a+b-6 \gt....a+b−6>....

    Puis pour b−ab-ab−a ; b−a>...b-a \gt ...b−a>...

    M 1 réponse
  • M

    @Noemi a dit dans Exercice fonction et variation :

    @m12

    A partir de l'inégalité : 3≤a<b3 \le a\lt b3≤a<b
    3≤a3\le a3≤a et 3<b3\lt b3<b tu déduis 6<a+b6 \lt a+b6<a+b
    soit a+b−6>....a+b-6 \gt....a+b−6>....

    Puis pour b−ab-ab−a ; b−a>...b-a \gt ...b−a>...

    Alors j zi fais
    a>égale 3 et b>égale 3
    Pour a+b est 3+3=6 donc a+b-6>0
    Le signe est positif

    Pour b-a .... b est plus grand que a donc positif

    b) f(b)-,f(a) pour 3<égale a<b

    Car b-a>0 et a+b>0 donc positif

    C) une fonction est croissante sur un intervalle si pout a<b dans cet intervalle f(b,)>f(a)
    Donc a<b avec a,>égale 3 et f(b) -f(a) = (b-a)(a+b-6)
    Est positif dans intervalle est croissant [3;+infini[

    N 1 réponse
  • N
    Modérateurs

    @m12

    Quelles erreurs de frappe :
    b) b−a>0b-a \gt0b−a>0 et a+b−6>0a+b-6 \gt 0a+b−6>0, donc f(b)−f(a)>0f(b)-f(a) \gt0f(b)−f(a)>0

    c) la fonction est donc croissante sur l'intervalle ]3;+∞[]3 ; +\infty[]3;+∞[

    M 1 réponse
  • M

    @Noemi a dit dans Exercice fonction et variation :

    @m12

    Quelles erreurs de frappe :
    b) b−a>0b-a \gt0b−a>0 et a+b−6>0a+b-6 \gt 0a+b−6>0, donc f(b)−f(a)>0f(b)-f(a) \gt0f(b)−f(a)>0

    c) la fonction est donc croissante sur l'intervalle ]3;+∞[]3 ; +\infty[]3;+∞[

    Merci pour l aide pour cette exo que j ai pas très dire
    Il m en reste un troisième j ouvre un nouveau post

    N 1 réponse
  • N
    Modérateurs

    @m12

    Ok

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