fonctions circulaires: période



  • Bonjour à tous,

    On vient de faire une nouvelle leçon, celle des Fonctions circulaires. Dans la partie "Généralités" section "Période", on nous a donné:

    T période de la fonction f(x) si
    f(x+T)=f(x)

    sin(ax+b) => T= 2pipi/a
    cos(ax+b) => T= 2pipi/a
    tan(ax+b) => T= pipi/a

    On ne nous a pas donné de démonstration (sûrement parce que ce ne sont que des généralités). J'aimerai beaucoup que vous m'éclaircissiez sur le pourquoi du comment 😆

    Ce n'est pas une exercice mais ça pourrait quand même m'aider...
    Au plaisir de vous lire très prochainement;
    Marc


  • Modérateurs

    Salut.

    Je te montre pour la première.

    On cherche T tel que: sin(ax+b)=sin(a(x+T)+b) (1)

    Or, la période de sin(X) est 2pipi, ce qui signifie que sin(X)=sin(X+2pipi).
    En prenant X=ax+b, sin(ax+b)=sin(ax+b+2pipi).

    Donc (1) implique le fait que:

    sin(ax+b+2pipi)=sin(a(x+T)+b)
    sin(ax+b+2pipi)=sin(ax+b+aT)

    On en déduit que T=2pipi/a.

    @+



  • Salut,

    Merci beaucoup, alors pour tan(ax+b) => T= pipi/a c'est le même résonnement! :

    f(x)= tan(ax+b)

    T période de f(x) si f(x)=f(x+T)

    tan(ax+b)=tan[a(x+T)+b] (1)

    La période de tan(X)=tan(x+pipi) est pipi
    En prenant X=ax+b, on a:

    tan(X)=tan(ax+b)=tan(ax+b+pipi)

    Dans (1), on a tan(ax+b)=tan[a(x+T)+b]
    Donc:
    tan(X)=tan[a(x+T)+b]=tan(ax+b+pipi)
    tan(ax+aT+b)=tan(ax+b+pipi)
    tan(ax+b+aT)=tan(ax+b+pipi)

    Ce qui fait que aT=pipi et donc que T=pipi/a

    Je pense que j'ai compris, merci encore;
    Au plaisir de vous lire très prochainement,
    Marc


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