fonctions circulaires: période

[falymarc]

Bonjour à tous,

On vient de faire une nouvelle leçon, celle des Fonctions circulaires. Dans la partie "Généralités" section "Période", on nous a donné:

T période de la fonction f(x) si
f(x+T)=f(x)

sin(ax+b) => T= 2$pi$/a
cos(ax+b) => T= 2$pi$/a
tan(ax+b) => T= $pi$/a

On ne nous a pas donné de démonstration (sûrement parce que ce ne sont que des généralités). J'aimerai beaucoup que vous m'éclaircissiez sur le pourquoi du comment

Ce n'est pas une exercice mais ça pourrait quand même m'aider...
Au plaisir de vous lire très prochainement;
Marc

[Jeet-chris]

Salut.

Je te montre pour la première.

On cherche T tel que: sin(ax+b)=sin(a(x+T)+b) (1)

Or, la période de sin(X) est 2$pi$, ce qui signifie que sin(X)=sin(X+2$pi$).
En prenant X=ax+b, sin(ax+b)=sin(ax+b+2$pi$).

Donc (1) implique le fait que:

sin(ax+b+2$pi$)=sin(a(x+T)+b)
sin(ax+b+2$pi$)=sin(ax+b+aT)

On en déduit que T=2$pi$/a.

@+

[falymarc]

Salut,

Merci beaucoup, alors pour tan(ax+b) => T= $pi$/a c'est le même résonnement! :

f(x)= tan(ax+b)

T période de f(x) si f(x)=f(x+T)

tan(ax+b)=tan[a(x+T)+b] (1)

La période de tan(X)=tan(x+$pi$) est $pi$
En prenant X=ax+b, on a:

tan(X)=tan(ax+b)=tan(ax+b+$pi$)

Dans (1), on a tan(ax+b)=tan[a(x+T)+b]
Donc:
tan(X)=tan[a(x+T)+b]=tan(ax+b+$pi$)
tan(ax+aT+b)=tan(ax+b+$pi$)
tan(ax+b+aT)=tan(ax+b+$pi$)

Ce qui fait que aT=$pi$ et donc que T=$pi$/a

Je pense que j'ai compris, merci encore;
Au plaisir de vous lire très prochainement,
Marc