Exercice de géométrie 3ème (Thalès)

Bonjour à tous,

Je souhaite vous exposer un exercice de géométrie du chapitre de 3ème qui me pose grand problème. Cet exercice vient de mon livre de collège "Démontrer pour comprendre" éditions Ellipse.

Je précise que c'est le dernier exercice du livre pour le chapitre Thalès, et étant donné que les exercices de ce livre sont donnés dans l'ordre de difficulté croissante, il est normalement compliqué, et je suis en échec complet dessus. Et il n'y a malheureusement pas la correction de cet exercice.
Le voici :

Une tangente en I à un demi-cercle de diamètre [AB] coupe en C et D les tangentes en A et B. On mène la perpendiculaire (IK) à (AB).
Montrer que les droites (AD), (BC) et (IK) sont concourantes.

Voici mes observations, qui n'ont pas abouti :

D'abord :

Il semblerait que le point de concours des droites AD, BC et IK soient le milieu de [IK]
Pour montrer que ces droites sont concourantes, je souhaiterais alors montrer que (AD) coupe [IK] en son milieu et que (BC) coupe [IK] en son milieu.

Ensuite :

Les droites (AC), (IK) et (BD) sont parallèles car toutes perpendiculaires à (AB), cela permettrait d'utiliser le théorème de Thalès.
Le triangle AIB est rectangle en I (selon le théorème de l'angle inscrit)
Les triangles AIK et AIB sont semblables, car tous deux rectangles et l'angle A en commun, cela permet d'utiliser les rapports de proportionnalité dans ces deux triangles.
Les quadrilatères ACIO et OIDB sont inscriptibles car deux de leurs angles opposés font 90° (donc supplémentaires et ils sont alors inscriptibles)
On a des angles alternes-internes et correspondants en raison des 3 droites parallèles

Ce qui me pose problème :
Je n'arrive pas à organiser mes idées tant il y a d'informations et de possibilités dans cet exercice, je pourrais utiliser presque tous les théorèmes que j'ai vu au collège mais j'ai l'impression que mon intuition n'est pas bonne, j'ai essayé de nombreuses choses qui ne m'ont pas amené à la conclusion que BC et AD coupe IK en son milieu et sont ainsi concourantes. Peut-être que mon idée de départ est mauvaise ? Est-ce la meilleure manière de démontrer que des droites sont concourantes ?

Voilà, merci de m'avoir lu. J'aimerai savoir comment résoudre cet exercice, mes erreurs, si mon intuition est mauvaise.
Hâte de voir vos idée.

@Thibaut_lefevre a dit dans Exercice de géométrie 3ème (Thalès) :

Il semblerait que le point de concours des droites AD, BC et IK soient le milieu de [IK]

Bonjour,

Ta conjecture est exacte.
Les droites AD, BC et IK sont bien concourantes, le point commun est le milieu de [IK]
Je l'ai démontré par la géométrie analytique, ce qui n'est certainement pas la méthode attendue.

D'accord, merci du retour, c'est quel niveau la géométrie analytique ?

@Thibaut_lefevre a dit dans Exercice de géométrie 3ème (Thalès) :

D'accord, merci du retour, c'est quel niveau la géométrie analytique ?

Je ne connais pas les programmes en France, mais je présume que pour la géométrie analytique c'est probablement en Seconde.
C'est quasi sûr que ce qui est attendu est différent de ce que j'ai écrit.

@Thibaut_lefevre Bonjour,

Commence par analyser les angles pour montrer que la figure comporte des triangles isocèles et déduire que $A C = C I$ et $D B = D I$ . Puis tu utilises la propriété de Thalès pour montrer que le point d'intersection des droites $(D A)$ et $(B C)$ , puis $(B C)$ et $(I K)$ est un même point $J$ .

@Noemi a dit dans Exercice de géométrie 3ème (Thalès) :

Bonjour ! Merci, je vais essayer ça !