Encadrement d'une suite de fonction pour trouver une fonction plus simple
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JackAtik dernière édition par
Bonjour,
Dans un exercice d'encadrement, l'objectif est de montrer que la suite des fonctions fn(x)=E(x)+E(2x)+...+E(nx)n2f_n(x) = \frac{E(x) + E(2x) + ... + E(nx)}{n^2}fn(x)=n2E(x)+E(2x)+...+E(nx), avec n un entier non nul, tend vers une fonction simple quand n→+∞n \rightarrow +\inftyn→+∞.
On a d'abord montré que pour tout réel x, x−1<E(x)≤xx - 1 \lt E(x) \le xx−1<E(x)≤x puis que (n+1)x−22n≤fn(x)≤n+12nx\frac{(n+1)x-2}{2n} \le f_n(x) \le \frac{n+1}{2n}x2n(n+1)x−2≤fn(x)≤2nn+1x.
Puis grâce au théorème des gendarmes, on montre que fn(x)→x2f_n(x) \rightarrow \frac{x}{2}fn(x)→2x pour n→+∞n \rightarrow +\inftyn→+∞.
Cependant il y a un point qui m'interroge, c'est que pour calculer la limite de (n+1)x−22n\frac{(n+1)x-2}{2n}2n(n+1)x−2, je passe par la forme x+xn−2n2\frac{x + \frac{x}{n} - \frac{2}{n}}{2}2x+nx−n2 et j'assume le fait que xn→0\frac{x}{n} \rightarrow 0nx→0 pour n→+∞n \rightarrow +\inftyn→+∞. Si x est un réel fixé, ça ne pose pas de problème, mais ne devrait on pas considérer qu'il pourrait tendre vers ±∞\pm \infty±∞ ?
Merci à ceux qui pourront m'éclairer.
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BBlack-Jack dernière édition par Black-Jack
Bonjour,
Je pense qu'il n'y a pas de soucis.
Pour calculer limn→+∞(n+1)x−22n\lim_{n \to +{\infty}} \frac{(n+1)x-2}{2n}limn→+∞2n(n+1)x−2, on fixe x à une valeur constante réelle quelconque. Comme l'infini n'est pas un nombre, x qui doit être un nombre quelconque constant n'est forcément pas infini.
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JackAtik dernière édition par
D'accord, merci @Black-Jack pour la réponse.