Congruence chez Hilbert

Bonjour,

J'essaye de revoir les bases de la géométrie avec les axiomes de Hilbert. Je comprends bien les axiomes mais je n'arrive pas à saisir comment il peut définir la congruence sans faire appel à a mesure.
Par exemple, si je prends un segment [AB] sur une droite qui, avec ma règle, mesure 2 cm et un segment [A'B'] de 5 cm en décrétant qu'ils sont congruents, j'imagine bien qu'une contradiction va apparaître quelque part, mais où ?

@AqwaB Bonjour,

Quelques éléments :
Avec les axiomes de Hilbert, on peut comparer et reporter des segments.
Sur une même droite orientée, soit deux segments consécutifs [AB] et [BC], on peut définir leur somme géométrique comme le segment [AC].
On peut additionner des segments par juxtaposition.
On obtient ainsi une structure analogue à l’addition des nombres positifs.

Pour passer à une longueur numérique, on fixe un segment de référence r = [UV].
On associe à chaque segment s un nombre L(s) tel que :
si deux segments sont congruents, ils ont la même longueur ;
si on juxtapose deux segments s et t, alors L(s+t) = L(s) + L(t) ;
le segment unité a longueur 1.
La longueur est une application des segments vers les réels positifs, compatible avec la congruence et l’addition géométrique.

@Noemi Bonjour et merci pour cette réponse.
J'avais bien lu ces axiomes, qui suivent les axiomes de congruence, mais je ne parviens pas à comprendre leur applicabilité.
Pour faire pratique : étant donné un segment [AB] sur une droite a et un point A' sur une droite a', comment construire, sans faire d'abord appel à la mesure, un segment [A'B'] congruent à [AB] ? À défaut, un segment [A'B'] donné aussi, comment vérifier qu'il est ou non congruent à [AB] ?
Désolé d'être aussi bouché !