Equations trigonométriques

Bonjour,
Résoudre: sin(x)+cos(x)=racine(2)
racine(2)/2sin(x)+racine(2)/2cos(x)=1
cos(pi/4)*sin(x)+sin(pi/4)*cos(x)=1
D' après la correction: sin(pi/4+x)=1, c'est ce que je n'ai pas compris !

Merci d'avance.

@kadforu bonjour,

Piste :
Tu divises les deux membres de l'équation par $2\sqrt 2$ puis tu reconnais une formule d'addition pour arriver à l'équation que tu indiques.

@kadforu ,

j'explicite un peu :

$x=\sqrt 2$

$12sinx+12cosx=22\dfrac{1}{\sqrt 2}sin x+\dfrac{1}{\sqrt 2}cos x=\dfrac{\sqrt 2}{\sqrt 2}$

$22sinx+22cosx=1\dfrac{\sqrt 2}{2}sin x+\dfrac{\sqrt 2}{2}cos x=1$

$cosπ4sinx+sinπ4cosx=1cos\dfrac{\pi}{4}sin x+sin\dfrac{\pi}{4}cos x=1$

Tu utilises la formule d'addition
$s i n (a + b) = s i n a c o s b + s i n b c o s a$

$sin(π4+x)=1sin(\dfrac{\pi}{4}+x)=1$

Bons calculs.

Bonjour,

alternative :
sin(x) + cos(x) = sqrt(2)
sin(x) + sin(Pi/2 + x) = sqrt(2)
2.sin((2x+Pi/2)/2) * cos((x+-x-Pi/2)/2) = sqrt(2)
2.sin(x + Pi/4) * cos(-Pi/4) = sqrt(2)
2.sin(x + Pi/4) * 1/sqrt(2) = sqrt(2)
sin(x + Pi/4) = 1
x + Pi/4 = Pi/2 + 2.k.Pi (avec k dans Z)
x = Pi/4 + 2k.Pi

Pour mtschoon:
Donc, d'abord il faut connaitre la formule: sin(a+b)=sinacosb+sinbcosa pour faire le reste.

Pour Black-Jack:
J'avoue que cela me dépasse !

Merci pour vous!

@kadforu , bonjour,

Tout à fait.
C'est la formule d'addition $s i n (a + b)$ qui permet la transformation et la résolution de l'équation avec la méthode que tu indiques.

@kadforu

Une remarque si tu veux t'entrainer à résoudre l'équation, avec la même idée, en utilisant la formule d'addition
$c o s (a - b) = c o s a c o s b + s i n a s i n b$

$22sinx+22cosx=1\dfrac{\sqrt 2}{2}sinx+\dfrac{\sqrt 2}{2}cosx=1$

$sinπ4sinx+cosπ4cosx=1sin\dfrac{\pi}{4}sinx+cos\dfrac{\pi}{4}cosx=1$

$cos(x−π4)=1cos(x-\dfrac{\pi}{4})=1$

$x−π4=0+2kπ,k∈Zx-\dfrac{\pi}{4}=0+2k\pi , k\in Z$

$x=π4+2kπ,k∈Zx=\dfrac{\pi}{4}+2k\pi , k\in Z$

Oui, j'ai tout compris sur cet exercice.
Merci.

De rien @kadforu

Tant que j'y suis, je t'indique, si besoin, la formule que Black-Jack a utilisée dans sa méthode alternative :
$sinp+sinq=2sinp+q2cosp−q2sinp+sinq=2sin\dfrac{p+q}{2}cos\dfrac{p-q}{2}$

Bonnes réflexions.

Bonjour,
J'ai trouvé sur internet des dizaines de formules trigonométriques.
C'est possible qu'un élève puisse apprendre ça parcoeur ?
Je me rappelle que notre prof nous a dit: il y a des profs qui apprennent ça parcoeur !
Est-ce possible ?

@kadforu rebonjour,

Efectivement, tout prof de maths connait par coeur toutes les formules usuelles de trigonométrie. c'est sûr...

Je suis une prof à la retraite, donc pas au fait des programmes enseignés actuellement.

De "mon temps", aux bacs scientifiques, un élève devait connaître les lignes trigonométriques des angles remarquables, la formule fondamentale sin²x+cos²x=1, les formules dites d'addition et leurs conséquences directes (angle double ou demi--angle).

Pour les formules de transformations de somme ( ou différence) de sinus, cosinus, tangente (dites formules de Simpson) , qui sont des conséquences des formules d'addition ( en les ajoutant, retranchant, et en changeant d'inconnues) elles devaient être connues en Bac+1.

(En Bac+1, il y avait aussi les fonctions trigonométriques réciproques)

Bien sûr, le mieux est de connaître toutes les formules usuelles ou de savoir qu'elles existent pour les retrouver rapidement.