probleme de citerne inclinee



  • Bonjour

    Je dois calculer le volume de liquide contenu dans une citerne inclinée et je rencontre quelques problèmes, pouvez vous me conseiller ?

    j'ai une citerne de diametre d et longueur L la hauteur du niveau de liquide l et l'angle (alpha) que fait la citerne avec l'horizontale.
    Je suis confronté à 4 cas :
    pour faciliter mon explication je vais prendre une vue de coté de la citerne où elle est représenter par un rectangle.

    -le niveau d'eau touche les 2 largeurs
    -le niveau d'eau touche les 2 longueurs
    -le niveau d'eau touche la largeur et la longueur supérieure
    -le niveau d'eau touche la largeur et la longueur inférieure

    Pour le cas des 2 longueurs, c'est bon le liquide est un cylindre tronqué
    pour les cas des 2 largeurs, je voulais savoir si on peut se ramener au cas ou (alpha)=0 (et utiliser la formule donner sur un autre forum pour une citerne de fioul couchée) et remplacer la hauteur de liquide h par h/cos(alpha) - (L*tan(alpha))

    Pour le cas des largeur et longueur inf et sup, j'ai pensé partir de l'aire d'un segment circulaire R²*arcos((R-h)/R) -(R-h)*R et integrer mais je ne sais pas quelle borne d'intégration prendre et surtout je ne vois pas comment intégrer un arcos. Peut être existe t'il une autre méthode ???

    merci pour l'aide que vous pourrez m'apporter
    nico



  • pour la question finale

    http://pix.nofrag.com/1e/79/9151ca72f1f5b15030e896f77277.jpg
    merci wims


  • Modérateurs

    Salut.

    Pour que cette primitive ne sorte pas de nulle part, je te propose d'utiliser l'astuce suivante (très utilise par ailleurs):

    On dérive x.arccos(x).

    Regarde pourquoi:

    [x.arcos(x)]' = arccos(x) + x.(-1)/√(1-x²)

    On reconnait arccos(x) ! On réarrange:

    arccos(x) = [x.arcos(x)]' + x/√(1-x²)

    On met le signe ∫ partout:

    ∫arccos(x)dx = ∫[x.arcos(x)]'dx + ∫x/√(1-x²) dx

    A gauche, c'est la primitive que l'on cherche à calculer, au milieu, la primitive de la dérivée n'est pas trop dure à calculer ^^.

    Reste à droite: il faut réarranger de façon à trouver une forme que l'on sait intégrer. La forme est la suivante:

    x/√(1-x²) = x/(1-x²)1/2)^{-1/2} = -[1/2.(-2x)/(1-x²)1/2)^{-1/2}]

    On le remarque avec un peu d'habitude. donc:

    ∫x/√(1-x²) dx = -√(1-x²) + constante

    D'où la primitive donnée par Zauctore:

    ∫arccos(x)dx = x.arcos(x) - √(1-x²) + constante

    @+



  • Salut,

    Merci beaucoup pour l'astuce, je vais l'utiliser et voir sdi je m'en sors avec.


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