Démontrer une inéquation



  • Bonjour à tous !

    Alors j'ai une inéquation a résoudre, et... Je n'y arrive pas...

    Soit f la fonction féfinie sur ]-1;1[ par: f(x)= sqrtsqrt(1+x)
    Montrer que pour tout x app/ ]-1;1[, 1+ (x/2)+ sqrtsqrt(1+x) > 1/2

    Déjà, j'ai déduit que sqrtsqrt(1+x) < 1 et sqrtsqrt(1+x) > -1
    En ajoutant x et 1 j'arrive à
    1 + x + (sqrtsqrt(1+x))/2 > 1/2

    Merci de votre éventuelle future aide (j'en ai besoin...)

    Bonnes vacances à tous 😄



  • Bonjour

    -1 < x < 1 (on ajoute 1 aux 2 termes de cette inégalité)

    -1 +1 < x + 1 < 1 + 1 soit 0 < x + 1 < 2

    la fonction sqrtsqrtX étant croissante sur les réels positifs on a donc

    0 < sqrtsqrt(x + 1) < sqrtsqrt2

    -1 < x < 1 on peut diviser tous ls termes de cette inégalité par 2 soit

    -1/2 < x/2 < 1/2
    sans oublier
    0 < sqrtsqrt(x + 1) < sqrtsqrt2

    on ajoute membre à membre ces 2 dernières égalités

    et on arrive à

    -1/2 < x/2 + sqrtsqrt(x + 1) < 1/2 + sqrtsqrt2

    ce qui doit te permettre de conclure ce qui t'est demandé

    En espérant n'avoir pas fait d'erreur de calcul. A plus si besoin


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