Démontrer une inéquation

[agathe59]

Bonjour à tous !

Alors j'ai une inéquation a résoudre, et... Je n'y arrive pas...

Soit f la fonction féfinie sur ]-1;1[ par: f(x)= $sqrt$(1+x)
Montrer que pour tout x app/ ]-1;1[, 1+ (x/2)+ $sqrt$(1+x) > 1/2

Déjà, j'ai déduit que $sqrt$(1+x) < 1 et $sqrt$(1+x) > -1
En ajoutant x et 1 j'arrive à
1 + x + ($sqrt$(1+x))/2 > 1/2

Merci de votre éventuelle future aide (j'en ai besoin...)

Bonnes vacances à tous

[Zorro]

Bonjour

-1 < x < 1 (on ajoute 1 aux 2 termes de cette inégalité)

-1 +1 < x + 1 < 1 + 1 soit 0 < x + 1 < 2

la fonction $sqrt$X étant croissante sur les réels positifs on a donc

0 < $sqrt$(x + 1) < $sqrt$2

-1 < x < 1 on peut diviser tous ls termes de cette inégalité par 2 soit

-1/2 < x/2 < 1/2
sans oublier
0 < $sqrt$(x + 1) < $sqrt$2

on ajoute membre à membre ces 2 dernières égalités

et on arrive à

-1/2 < x/2 + $sqrt$(x + 1) < 1/2 + $sqrt$2

ce qui doit te permettre de conclure ce qui t'est demandé

En espérant n'avoir pas fait d'erreur de calcul. A plus si besoin