Problème : Algorithme de Babylone pour rac(5



  • Voilà, j'ai un petit problème avec un problème de maths, j'ai résolu le début, mais j'arrive à rien sur la fin :
    On veut calculer des valeurs approchées décimales de racines carrées, comme sqrtsqrt5, par une méthode ancienne "l'algorithme de Babylone".

    **********1) Soit un nombre positif a.
    Montrer en utilisant la fonction inverse que
    si a > sqrtsqrt5, alors 5/a < sqrtsqrt5.
    En prenant a = 2.5, déduire un encadrement de sqrtsqrt5.

    1. On pose uo = 2,5 et u1 = 1/2*(uo + 5/uo).
      Montrer que sqrtsqrt5 < u1 < uo et en déduire un autre encadrement de sqrtsqrt5.
      Comparer les amplitudes des deux encadrements.

    2. Généralisation
      On considère la suite définie par u0u_0 = 2,5 et un+1u_{n+1} = 1/2(un1/2*(u_n + 5/un).

    a) Donner une valeur approchée des cinq premiers termes de cette suite avec une précision de 10510^{-5}.

    b) Montrer que, pour tout nombre entier n, un+1u_{n+1} - sqrtsqrt5 = (un(u_n - sqrtsqrt5)²/2un/2u_n.

    c)Montrer que, pour tout nombre entier n, unu_n > sqrtsqrt5

    d) En utilisant la question 1) et les nombres u2, u3, u4, donner trois nouveaux encadrements de sqrtsqrt5. Quelle conjecture peut-on faire sur le comportement de la suite (un(u_n) ?

    1. Démontere que, pour tout nombre entier n, unu_n - sqrtsqrt5 / unu_n <= 1.
      Déduire de la question 3)b), que un+1u_{n+1} - sqrtsqrt5 <= 1/2(un1/2*(u_n - sqrtsqrt5).

    2. Démontrer que u0u_0 - sqrtsqrt5 <= 1,
      u1 - sqrtsqrt5 <= 1/2,
      u2 - sqrtsqrt5 <= 1/2² et u3 - sqrtsqrt5 <= 1/231/2^3.

    On admettra que, pour tout nombre entier n, 0 <= un - sqrtsqrt5 <= 1/2n1/2^n. En déduire que la suite (un(u_n) est convergente et donner sa limite.**********

    Voilà donc mes réponses :

    a > V5
    1/a < 1/V5
    5/a < 5/V5
    5/a < V5

    Avec a = 2,5, comme 2,5 > V5 --> 5/2,5 < V5
    2 < V5
    Et donc 2 < V5 < 2,5

    u1 = (1/2)(2,5 + 5/2,5) = (1/2)(4,5) = 2,25
    et comme V5 = 2,23...
    On a bien 5 < u1 < uo

    Avec a = 2,25, comme 2,25 > V5 --> 5/2,25 < V5
    20/9 < V5
    Et donc 20/9 < V5 < 2,25
    2,22... < V5 < 2,25
    2,22 < V5 < 2,25
    Ici l'amplitude de l'encadrement est = 0,03 pour 0,5 le cas précédent.

    b)
    U(n+1) - V5 = (1/2)(Un + 5/Un) - V5
    U(n+1) - V5 = (1/2)
    (Un² + 5)/Un - V5.Un/Un
    U(n+1) - V5 = (Un² + 5 / 2Un ) - (V5.Un/Un)
    U(n+1) - V5 = Un² + 5 - 2V5.Un / 2Un
    U(n+1) - V5 = (Un - V5) / 2Un

    Merci d'avance si vous me répondez...



  • Salut

    j'ai légérement modifié le titre et la composition de l'énoncé

    tu disais initialement que ce n'était pas très urgent...
    et tu postes sur deux forums ?


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