Problème : Algorithme de Babylone pour rac(5

[Oréa]

Voilà, j'ai un petit problème avec un problème de maths, j'ai résolu le début, mais j'arrive à rien sur la fin :
On veut calculer des valeurs approchées décimales de racines carrées, comme $sqrt$5, par une méthode ancienne "l'algorithme de Babylone".

**********1) Soit un nombre positif a.
Montrer en utilisant la fonction inverse que
si a > $sqrt$5, alors 5/a < $sqrt$5.
En prenant a = 2.5, déduire un encadrement de $sqrt$5.

2. On pose uo = 2,5 et u1 = 1/2*(uo + 5/uo).
   Montrer que $sqrt$5 < u1 < uo et en déduire un autre encadrement de $sqrt$5.
   Comparer les amplitudes des deux encadrements.

3. Généralisation
   On considère la suite définie par $u_0$ = 2,5 et $u_{n+1}$ = $1/2\ast (u_n$ + 5/un).

a) Donner une valeur approchée des cinq premiers termes de cette suite avec une précision de $10^{-5}$.

b) Montrer que, pour tout nombre entier n, $u_{n+1}$ - $sqrt$5 = $(u_n$ - $sqrt$5)²$/2u_n$.

c)Montrer que, pour tout nombre entier n, $u_n$ > $sqrt$5

d) En utilisant la question 1) et les nombres u2, u3, u4, donner trois nouveaux encadrements de $sqrt$5. Quelle conjecture peut-on faire sur le comportement de la suite $(u_n$) ?

4. Démontere que, pour tout nombre entier n, $u_n$ - $sqrt$5 / $u_n$ <= 1.
   Déduire de la question 3)b), que $u_{n+1}$ - $sqrt$5 <= $1/2\ast (u_n$ - $sqrt$5).

5. Démontrer que $u_0$ - $sqrt$5 <= 1,
   u1 - $sqrt$5 <= 1/2,
   u2 - $sqrt$5 <= 1/2² et u3 - $sqrt$5 <= $1/2^3$.

On admettra que, pour tout nombre entier n, 0 <= un - $sqrt$5 <= $1/2^n$. En déduire que la suite $(u_n$) est convergente et donner sa limite.**********

Voilà donc mes réponses :
1)
a > V5
1/a < 1/V5
5/a < 5/V5
5/a < V5

Avec a = 2,5, comme 2,5 > V5 --> 5/2,5 < V5
2 < V5
Et donc 2 < V5 < 2,5

u1 = (1/2)(2,5 + 5/2,5) = (1/2)(4,5) = 2,25
et comme V5 = 2,23...
On a bien 5 < u1 < uo

Avec a = 2,25, comme 2,25 > V5 --> 5/2,25 < V5
20/9 < V5
Et donc 20/9 < V5 < 2,25
2,22... < V5 < 2,25
2,22 < V5 < 2,25
Ici l'amplitude de l'encadrement est = 0,03 pour 0,5 le cas précédent.

b)
U(n+1) - V5 = (1/2)(Un + 5/Un) - V5
U(n+1) - V5 = (1/2)(Un² + 5)/Un - V5.Un/Un
U(n+1) - V5 = (Un² + 5 / 2Un ) - (V5.Un/Un)
U(n+1) - V5 = Un² + 5 - 2V5.Un / 2Un
U(n+1) - V5 = (Un - V5) / 2Un

Merci d'avance si vous me répondez...

[Zauctore]

Salut

j'ai légérement modifié le titre et la composition de l'énoncé

tu disais initialement que ce n'était pas très urgent...
et tu postes sur deux forums ?