Démontrer une inégalité par récurrence

[Libravous]

Bonjour,
nous venons de commence le raisonnement par recurrence... j'ai plutôt bien compris mais comment demontrer (par recurrence) que pour tout n ≥4, on a :
$2^n$ ≥ n² ????
Nous n'avons pas encore vu de raisonnement sous cette forme...
Merci de m'aider!
a bientôt

[Zorro]

Bonjour,

Pour une démonstration par récurrence, on vérifie que c'est vrai au rang de départ (ici 4)
Soit $2^4$ est-il >= $4^2$ soit 16 est-il >= 16 c'est bien vrai

Après on suppose que c'est vrai au rang n

donc on suppose que pour n > 4 on a $2^n$ > $n^2$

il faut donc démontrer que $2^{n+1}$ >= $(n+1{)}^2$

$2^{n+1}$ = 2 * $2^n$

or $2^n$ >= $n^2$

donc $2^{n+1}$ >= $2n^2$

il ne suffit de montrer que $2n^2$ > $(n+1{)}^2$

pour cela il faut étudier le signe de $2n^2$ - $(n+1{)}^2$

A toi