DM Fonctions, limites, triangle...



  • Bonjour voila mon premier DM de TS me pose bcp de difficultés d'autant plus que les 2 mois de vacances ont fait un gros trou dans le cerveau, c'est pourquoi je demande de l'aide.

    Exercice 1:

    1. On considere la fonction f définie sur I=]0;+∞[ par f(x)=xsqrtsqrt(x) dérivable sur I.
      Déterminer sa fonction dérivée:

    Donc on peut dire qu'on a un produit de 2 fonctions:

    f(x)=x et g(x)=sqrtsqrt(x)

    On sait que f'(x)=1 et g'(x)= 1 /2sqrtsqrt(x)

    Donc on applique la formule des produits: f'g + g'f
    et on obtient en développant: (3sqrtsqrt(x)) /2

    1. En déduire lim(x→4) [ (xsqrtsqrt(x)-8) / (x-4) ]

    Pas trouvé. J'ai bcp de mal.

    Voila pour le premier exercice.

    Exercice 2:

    Aet B sont deux points du plan, tels que AB=8.
    C est une demi-cercle de diametre [AB] et de centre O=mil[AB]
    M est un point de C, H son projeté orthogonnal sur [AB].
    On pose AH=x

    1. Etude de l'aire du triangle AMH.

    a) A quel intervalle E appartient nécessairement le nombre x ?
    E[0;8]

    b) En evaluant de deux facons différentes le cosinus de l'angle MÂB, démontrer que AM²=8x.

    Je sais qu'on peut déterminer le cosinus par les cotés du triangle: cos= adj/hyp. Mais ensuite je fais quoi ?

    c) Montrer que l'aire S(x) du triangle AMH est égale à: 1/2*xsqrtsqrt(x(8-x))

    Bon ben tout simplement l'aire d'un triangle (base*hauteur)/2

    Et on obtient bien l'expression attendue.

    d) Soit f la fonction définie sur E par:

    d(x)= x³(8-x)

    Etudier les variations de f. En deduire la valeur maximale de l'aire du triangle AMH et les positions de M correspondantes.

    Bon on fait un tableau de variation et on trouve que S(x)= 1/2 sqrtsqrt(f(x))

    Le tableau montre que l'aire max est de 1/2(432) à x=6

    Donc S(6)= 1/2(sqrtsqrt(432)) = 10.4 [Aire maximale]

    2. Etude de la distance d(x) du point H à la droite MB1MB^1

    ^1$: On assimilera la droite (MB) avec la tangente à C au point lorsque M sera en B.

    a) Montrer que, pour tout x appartenant à E:

    d(x)= 1/4(8-x)sqrtsqrt(2x)

    b) Etudier les variations de la fonction d définie sur l'intervalle E.

    c) En deduire la valeur maximale de d(x) et les positions de M correspondantes.

    Bon pour ce dernier exercice je ne suis pas parvenu a le résoudre (malgré les heures passés dessus). Je vois vraiment pas comment faire...


    Voila j'ai essayé d'etre le plus clair possible. Désole si parfois certaines expressions sont pas tres claires mais je ne sais pas tres bien me servir du forum. Et j'espere que j'aurai pas à m'en servir souvent :razz: .

    En tout cas je vous remercie d'avance pour toute l'aide que vous pourrez m'apporter.


  • Modérateurs

    Salut.

    Exercice 1:

    1. Pense à comment on t'a introduit la dérivée en 1ère: c'est la limite de... Comme ça tu pourras faire le lien entre la 1ère et la 2nde question. 😉

    Exercice 2:

    1.b) Effectivement, il est possible de répondre à la question en utlisant la relation cosinus=coté adjacent/hypoténuse. Tu peux l'appliquer à 2 triangles différents et arriver à la relation demandée. 😉

    1.d) Jusque là tout m'a l'air juste, je tenais juste à noter qu'il serait préférable que tu fournisses la valeur exacte de l'aire maximale sous forme simplifiée. En gros, 636\sqrt{3}. 😄
    C'est en physique que les profs préfèrent les valeurs approchées.

    2.a) Là, ça se corse un peu effectivement. Si tu as bien fait ton dessin, tu devrais pouvoir remarquer 3 triangles semblables. Une fois identifiés, tu devrais pouvoir passer de l'un à l'autre par des relations de proportionnalités, comme dans Thalès. Le point épineux sera en fait de bien justifier pourquoi les triangles sont semblables.
    Un indice: MBH est l'un d'entre-eux.

    Il y a peut-être plus rapide, mais c'est ce que j'ai remarqué.

    2.b) et 2.c) Tu bloques vraiment ? Ou tu n'as pas commencé à chercher parce que tu n'as pas fait la première question ?

    @+



  • Merci de ton aide.

    Bon je vais essayer d'approfondir mes recherches avec tes indices.

    La derniere question, en effet je n'ai pas fait b et c car je n'ai pas réussi a, mais de totue facon c'est le meme raisonnement que pour II.1.d). Donc ca devrait pas me poser de problemes.

    Merci encore 😉



  • 2.a) Là, ça se corse un peu effectivement. Si tu as bien fait ton dessin, tu devrais pouvoir remarquer 3 triangles semblables. Une fois identifiés, tu devrais pouvoir passer de l'un à l'autre par des relations de proportionnalités, comme dans Thalès.
    Le point épineux sera en fait de bien justifier pourquoi les triangles sont semblables.
    Un indice: MBH est l'un d'entre-eux.

    Alors la j'ai un peu regarder le probleme et je vois vraiment pas comment faire :frowning2:

    Tu pourrais me donner la solution en tout cas pour au moins un d'entre eux stp, le DM est pour lundi donc je suis un peu pris par le temps (d'autant que y a pas que les maths :s)

    Merci beaucoup ;).



  • SVP j'ai vraiment besoin d'aide, j'y arrive pas. :frowning2: :frowning2:

    Pour le I.2, tu dis coment on a introduit la dérivée, c'est bien avec la limite du taux de variation ?? Mais je vois pas comment on peut arriver a trouver la limite a partir de ca.


  • Modérateurs

    Salut.

    Dans l'ordre des questions du problème:

    I.2) Effectivement, la dérivée est la limite du taux de variation. C'est-à-dire que:

    f(x)=limxhf(x)f(h)xhf'(x)=\lim_{x \to h}\frac{f(x)-f(h)}{x-h}

    Ne peux-tu pas trouver f et h, tels qu'ils correspondent à la limite recherchée ?

    II.2.a) Voilà 4 triangles semblables : AMB, AHM, BHM et MBH. On peut noter qu'ils sont tous rectangles. Essaie de justifier en quoi ils sont semblables. Avec ces 4 triangles, tu peux te débrouiller. La fin est juste une affaire de proportionnalité.

    @+



  • rebonjour, je suis entrain de répondre à la question 2 du 1er exercice : En déduire lim(x→4) [ (x(x)-8) / (x-4) ]

    Je pense quil faut calculer le taux de variation en 4 et que 8 = f(4), et je sais que la limite vaut 3 mais je n'arrive pas à la calculer, je bloque vraiment

    Merci



  • Soit f(x)=xx.f(x) = x\sqrt{x}.

    Alors, on a f(4)=4×2=8f(4) = 4\times2 = 8

    La fonction ff étant clairement dérivable en 4, je sais que l'on a

    limx4f(x)f(4)x4=f(4)\lim_{x\to4} \frac{f(x) - f(4)}{x-4} = f'(4)

    ce qui se traduit présentement par

    limx4xx8x4=f(4)\lim_{x\to4} \frac{x\sqrt x - 8}{x-4} = f'(4)

    où je te laisse trouver le nombre dérivé de ff en 4.


  • Modérateurs

    Salut.

    Tu n'arrive pas à la calculer, mais tu me donnes la réponse. 😁

    En fait tu as mal compris l'énoncé. Comme tu as donné la réponse, je te montre ce qu'il faut dire en gros.

    On remarque que

    limx4xx8x4=limx4f(x)f(4)x4\lim_{x \to 4} \frac{x\sqrt{x}-8}{x-4} = \lim_{x \to 4} \frac{f(x)-f(4)}{x-4}

    est la limite du taux d'accroissement de f quand x tend vers 4.
    Par définition, c'est donc la dérivée de f en x=4.

    En conséquence

    limx4xx8x4=f(4)\lim_{x \to 4} \frac{x\sqrt{x}-8}{x-4} = f'(4)

    C'est tout. 😄

    @+



  • merci beaucoup !
    le nombre dérivé de f en 4 vaut :
    3√4/2 soit 3
    bon apre-midi



  • Bonjour tlm, decidement ce DM me parait plutot difficile.

    Tu dis qu'il y a 4 triangles semblables ? J'en trouve que 3 !

    Puisque BHM et MBH sont le meme triangle.
    Ne te serais tu pas tromper ?


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