explication Polynome

bonsoir à tous et à toutes ma classe est actuellement en plein dans la lecon de polynome et j'ai assez bien compris la lecon (grace a mon prof super) mais à des choses basiques je m'embrouille et je ne comprend plus (alors que c'est simple) donc j'aurai besoin de vous pour m'aider et m'expliquer un peu
Aujourd'hui j'avais un exercice simple à faire
ou j'avais de nombreuses fonctions (en équation) et je devais dire lesquelles était polynomes ou non!
ex:
f(x)=(x²+1)(x-1)
je dois dire si cette fonction est ploynome ou non mais je m'embrouille un peu!!que dois je faire???
développer l'expression et si je vois des puissance en concluer que c'est un polynome ou alors il y a dautre description que jai oublier pour dire que c'est un polynome?
merci de m'aider rapidement SVP

Salut.

Déjà un truc à savoir: tout produit ou somme de polynômes est un polynôme.

Vu que je ne sais pas si tu peux dire cela, le mieux est effectivement d'en revenir à la définition des polynômes.

Donc développe et regroupe les termes ayant même puissance de x, et en fonction de la tête de ton expression, conclu sur sa nature.

N'oublie pas la définition: il faut que les puissances de x soient des entiers positifs ou nuls.

@+

c'est justement sa ou je galére!! quelle sont toute les possibilté de forme de polynome?

Salut.

Un polynôme, c'est la somme de monômes. C'est la seule chose à savoir.

Un monôme, c'est un nombre réel fixé, tels que 1, -3,5, 1/3 ou encore 56324, multiplié par une puissance entière positive de x, telles que x² ou x³.

Exemples de polynômes:

$x^3 \ x^{57324}+x^{12}+x^3 \ 1$

Et oui, 1 est un polynôme: c'est $\times x^0$

Ce que ne sont pas des polynômes:

$x2+3x7+x3\displaystyle x^{1/2} \ x^{57324}+x^{12}+1/x \ 2^x \ \frac{x^2+3}{x^7+x^3}$

La forme générale d'un polynôme est :

$a_nx^n+a_{n-1}x^{n-1}+a_{n-2}x^{n-2}+\cdots+a_2x^2+a_1x^1+a_0x^0 \ \text{les a_k sont des nombres r\acute{e}els, et les puissances de x sont des entiers positifs.}$

Ensuite on peut retrouver les polynômes sous une autre forme, c'est la forme factorisée. Ce sont juste des produits de polynômes, tout simplement, ce qui inclut les puissances de polynômes (qui sont tout simplement des produits).

Par exemple:

$(x+1)2=x2+2x+1x^3\cdot (x^6-2)=x^9-2x^3 \ (x^3+1)\cdot(x^3-1)=x^6-1 \ (x+1)^2=x^2+2x+1$

@+

oki j'ai compris merci!!
par contre je galére encore sur un truc facile!
je veux toujours savoir si c'est un polynome ou non!!
f(x)=(x²-√x)(x²+√x)
alors je développe mais je n'y parvien pas car la racine me gène!!
comment fait on pour la retirer??
j'ai aussi remarquer qu'avec les identité remarquable cela équivaut à a²-b²
cela donnerai :
xpuissance4-(√x)²
et ce que avec cette fonction je peut dire que c'est un polynome ou alors je ne paut pas??(et dans quel cas je n'ai pas compris)
meri d'avance

c bon jai réussi c'est tro simple en fait sen ai une

Salut.

Effectivement, c'est un polynôme. Je détaille le calcul:

$f(x)=x4−xf(x)=(x^2-\sqrt{x})(x^2+\sqrt{x}) \ f(x)= (x^2)^2-\sqrt{x}^2 \ f(x)=x^4-x$

@+

ouai je c merci comme meme mais j'ai eu le déclic apres avoir poster!!
car jme rappellerr plus que la racine au caré sa la retirer !!!
c bon j'ai presque tout piger pour linstant!!
la on attaque le second degrés!!

Alors essaye déjà de trouver les solutions de l'équation
$x^2- 8x + 15 = 0.$

je supose que c pour m'entrainer que tu me donne sa et je t'en remercie
x²-8x+15=0
polynome de degré 2
x0=15
x1=-8
x2=1
je pense que c'est sa que tu me demander

Salut.

Ce que tu donnes, c'est les coefficients. Ce que te demande Zauctore, c'est de déterminer toutes les valeurs de x qui annulent x²-8x+15. Par exemple, x=1 annule x-1 (en effet, 1-1=0).

Dans ton cours, c'est quand on voit un machin qui s'appelle le déterminant que l'on fait ce genre de résolution. Mais si tu ne l'as pas encore vu, que cela ne t'empêche pas d'essayer de résoudre.

Indice si tu n'as pas fait le cours correspondant: essaie de te ramener à une identité remarquable.

@+

c'est de la forme(a-b)²
Si c'est du 2éme degrés on est en train de débuter!!!
sinon je vois pas du tout aprés!!!
sa me rappelle un truc mais je confond avec le sytéme pour trouver les déterminant !!sinon y'a aussi le truc par combinaison ou substitution!!
enfin je confond pas mal de chose et c'est pas très clair dans ma téte

Salut.

Tu verras ce qu'est le déterminant d'un polynôme dans la suite du cours. Ne cherche pas le rapport qu'il existe entre ce déterminant (que tu verras bientôt), et celui que tu as vu en géométrie: on voit ça après le Bac normalement. Donc ne te complique pas la vie. Sache juste que tout est lié.

En attendant, essaie de trouver quelles sont les valeurs de x qui répondent à la question du dessus.

Explicite le développement de (a-b)², et factorise l'expression. La réponse à la question devrait t'apparaître un peu après. Cette méthode de factorisation est en fait souvent plus rapide que d'utiliser le déterminant pour trouver les solutions, avec un peu d'habitude. Donc persévère, et tu auras un avantage sur les autres, dans le sens où tu auras déjà compris comment ça marche.

@+

désolé mais je n'y parvien pas meme en utilisant l'unité remarquables (a-b)² je n'arrive pas a trouver car le 15 me gène peut etre dois-je passer le 15 de l'autre coté et le faire mai meme de cet mznière je n'y parvient pas!!!
au début cela ma paraissait facile mais c'est plus dure que ce que je pensais

Salut.

C'est pour cela que je t'ai conseillé d'expliciter l'identité.

Regarde la démarche:

$x2−8x+15=x2−2×4x+15x^2- 8x + 15 = x^2-2 \times 4x+15$

On se dit que b va être égal à 4 si on pose a=x non?

Donc ce cas, on va sortir b²=16 du 15 !

$x2−8x+15=(x−4)2−1x^2- 8x + 15 = x^2-2 \times 4x+15 \ x^2- 8x + 15 = x^2-2 \times 4x+16-1 \ x^2- 8x + 15 = x^2-2 \times 4x+4^2-1 \ x^2- 8x + 15 = (x-4)^2-1$

Bien. A partir de là, on va pouvoir utliser une autre identité remarquable.

A toi !

@+

ah oui vu comme cela je comprend immédiatement!!
moi je cherchais une factorisation compléte et tout mette à l'intérieur de parenthèse!!
merci pour ton explication

Salut.

Je termine la résolution:

$x^2- 8x + 15 = (x-4)^2-1$

C'est de la forme a²-b², donc

$x^2-8x+15 = (x-4+1)(x-4-1) \ x^2-8x+15 = (x-3)(x-5)$

qui s'annule si x=3 ou x=5.

Si on avait eu la forme a²+b², alors comme la somme de 2 nombres positifs est positives, cela aurait eu du mal à s'annuler sauf si a et b étaient nuls.

@+

ouaip sa j'ai vu et puis 3 et 5 s'appelle racine de la foncyion!! en fait c'était le début qui me perturber mais on l'a pas encore vu!! on est au début de la leçon!
voila encore aujourdui comme tout les jours j'ai des exos de math a faire et j'ai presque tout réussi sauf un truc ou je dois dire si le nombre alpha et racine du polynome (il me reste un truc que j'ai pas su faire)

f(x)=x³-2x²-2x-2x+4 alpha =√2
donc je remplace les valeur de x par √2
√2³-2√2²-2√2+4
encore une fois les racines me posent des problème sauf pour 2√2² car sa fait2*2 mai le √2³ et le 2√2 me posent des problèmes!!
pouvez vous m'aider?
mercid'avance

Il suffit de remarquer que

$(2)3=2,×,2,×,2(\sqrt{2})^3 = { {\sqrt{2} } , \times , {\sqrt{2} } } , \times , {\sqrt{2} }$

ah oui ok et sa fait 2√2 nikel merci c tout con en fait

En première S, en effet, c'est tout ... de ne pas le savoir

ouai c sur c'est de ma fautes poutant j'ai réviser pendant les vacance mais je vois que je me rappelle comme meme pas mal de chose alors que certan qui non rien révisé sont a la traine!
notre prof nous a dis quil fallait de rapeller de tout a partir de la maternelle