Inegalité des accroissements finis



  • Je vous demande votre aide, je bloque sur la4eme question de cet exercice, je vous ai mis les questions d'avant pour que vous compreniez bien l'exo

    On considere la suite u=(unu=(u_n) definie par u0u_0 = 1 et pour tout entier n par

    un+1=2(1eun)u_{n+1} = 2\big(1-\text{e}^{-u_n}\big).

    a) étudier rapidement la fonction

    f(x)=2(1ex)f(x)=2\big(1-\text{e}^{-x}\big)

    b) monter que pour tout n, on a

    1un21 \prec u_n \prec 2

    le curieux symbole ci-dessus remplace le symbole inférieur strict, qui nous pose un petit pb technique... N.d.Z.

    c) montrer que la suite u est convergente puis determiner sa limite

    d) en utilisant l'IAF, montrer que

    2e2(r1)ru12e(r1)\frac{2}{\text{e}^2}(r-1) \prec r-u_1 \prec \frac{2}{\text{e}}(r-1)

    et en deduire

    r2(1e2e22)r \succ 2\left(1-\frac{\text{e}-2}{\text{e}^2-2}\right)

    Voila sachant que javais en question preliminaire montrer que l'equation 2x2exp(x)=02-x-2\exp(-x)=0 admet deux solutions reelles dont l'une notée r est comprise entre 1 et 2.

    aidez moi svp!!!!



  • Salut

    Comme j'ai pas mal modifié le code de ton énoncé pour en améliorer l'affichage, merci de vérifier si je n'ai pas commis d'erreur d'interprétation en te lisant.



  • oui il y une erreur mais elle est de ma faute!
    d) en utilisant l'iaf monter que (2/exp²)(r-1)<r-u1<(2/exp)(r-1)
    dsl pour cette erreur! merci



  • Et si tu essayais de corriger toi même ton expression

    en utilisant le bouton "Modifier/Supprimer" qui se trouve sous ton premier message.

    N'oublie pas de passer par "Aperçu" avant d'envoyer !

    Et si tu n'y arrives pas, n'envoye surtout aucune correction, mais dit nous le.



  • c'est rectifié...



  • Pour d) : accroissements finis appliqués à f entre 1 et r, sans oublier que *r = f(r) *, non ? suffit d'encadrer la dérivée.



  • Partons de

    2e2(r1)ru1\frac{2}{\text{e}^2}(r-1) \prec r - u_1

    avec

    u1=2(11e)u_1 = 2\big(1-\frac1{\text{e}}\big)

    tu arrives à

    2(r1)e2r2(e2e)2(r-1) \prec \text{e}^2r-2(\text{e}^2-\text{e})

    d'où

    2(e2e1e22)r2\left(\frac{\text{e}^2-\text{e}-1}{\text{e}^2-2}\right) \prec r

    ce qui me donne

    2(1+1ee22)r2\left(1+\frac{1-\text{e}}{\text{e}^2-2}\right) \prec r

    sauf erreur.


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