Inegalité des accroissements finis
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Aayla8101 dernière édition par
Je vous demande votre aide, je bloque sur la4eme question de cet exercice, je vous ai mis les questions d'avant pour que vous compreniez bien l'exo
On considere la suite u=(unu=(u_nu=(un) definie par u0u_0u0 = 1 et pour tout entier n par
un+1=2(1−e−un)u_{n+1} = 2\big(1-\text{e}^{-u_n}\big)un+1=2(1−e−un).
a) étudier rapidement la fonction
f(x)=2(1−e−x)f(x)=2\big(1-\text{e}^{-x}\big)f(x)=2(1−e−x)
b) monter que pour tout n, on a
1≺un≺21 \prec u_n \prec 21≺un≺2
le curieux symbole ci-dessus remplace le symbole inférieur strict, qui nous pose un petit pb technique... N.d.Z.
c) montrer que la suite u est convergente puis determiner sa limite
d) en utilisant l'IAF, montrer que
2e2(r−1)≺r−u1≺2e(r−1)\frac{2}{\text{e}^2}(r-1) \prec r-u_1 \prec \frac{2}{\text{e}}(r-1)e22(r−1)≺r−u1≺e2(r−1)
et en deduire
r≻2(1−e−2e2−2)r \succ 2\left(1-\frac{\text{e}-2}{\text{e}^2-2}\right)r≻2(1−e2−2e−2)
Voila sachant que javais en question preliminaire montrer que l'equation 2−x−2exp(−x)=02-x-2\exp(-x)=02−x−2exp(−x)=0 admet deux solutions reelles dont l'une notée r est comprise entre 1 et 2.
aidez moi svp!!!!
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Zauctore dernière édition par
Salut
Comme j'ai pas mal modifié le code de ton énoncé pour en améliorer l'affichage, merci de vérifier si je n'ai pas commis d'erreur d'interprétation en te lisant.
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Aayla8101 dernière édition par
oui il y une erreur mais elle est de ma faute!
d) en utilisant l'iaf monter que (2/exp²)(r-1)<r-u1<(2/exp)(r-1)
dsl pour cette erreur! merci
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Zorro dernière édition par
Et si tu essayais de corriger toi même ton expression
en utilisant le bouton "Modifier/Supprimer" qui se trouve sous ton premier message.
N'oublie pas de passer par "Aperçu" avant d'envoyer !
Et si tu n'y arrives pas, n'envoye surtout aucune correction, mais dit nous le.
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Zauctore dernière édition par
c'est rectifié...
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Zauctore dernière édition par
Pour d) : accroissements finis appliqués à f entre 1 et r, sans oublier que *r = f(r) *, non ? suffit d'encadrer la dérivée.
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Zauctore dernière édition par
Partons de
2e2(r−1)≺r−u1\frac{2}{\text{e}^2}(r-1) \prec r - u_1e22(r−1)≺r−u1
avec
u1=2(1−1e)u_1 = 2\big(1-\frac1{\text{e}}\big)u1=2(1−e1)
tu arrives à
2(r−1)≺e2r−2(e2−e)2(r-1) \prec \text{e}^2r-2(\text{e}^2-\text{e})2(r−1)≺e2r−2(e2−e)
d'où
2(e2−e−1e2−2)≺r2\left(\frac{\text{e}^2-\text{e}-1}{\text{e}^2-2}\right) \prec r2(e2−2e2−e−1)≺r
ce qui me donne
2(1+1−ee2−2)≺r2\left(1+\frac{1-\text{e}}{\text{e}^2-2}\right) \prec r2(1+e2−21−e)≺r
sauf erreur.