Raisonnement par récurrence et suites (svp, casse-tête horrible)

Bonjour à tous !
On m'a donné un petit problème sur les suites et le raisonnement par récurrence.

Voici l'énoncé :

*Le but du problème est de démontrer que 1111...1111 (81 chiffres 1) est divisible par 81.

Soit $u_n$ le nombre 111...111 écrit avec $3^n$ chiffres 1.*

Commencons déjà par la première question :

1) Expliquer la relation : $u$ {n+1}$=(10^{2×$3n} $10^{3n}$ +1)× $u_n$
Voilà où j'en suis : j'ai compris comment la relation fonctionne.
En développant, j'obtiens $u$ {n+1} $u_n$ .$10^{2×$3n}$+u_{n.$103n} $u_n$

J'arrive donc à comprendre comment on passe de 1111...11 avec $3^n$ chiffres 1 à 111...111 avec $3^{n+1}$ chiffres 1.

exemple avec n=1 :
$u_n$ = 111 $3^1$ chiffres 1)
$u_{n+1}$ = 111000000 + 111000 + 111 = 111111111 ; on a $3^2$ chiffres 1

Mais, maintenant, comment le démontrer par le calcul ?
Dois-je partir de la relation de départ, développer pour trouver quelque chose de plus explicite, ou trouver une autre formule, comme l'expression de $u_n$ avec une suite d'additions pour finalement arriver à la relation donnée dans l'énoncé ?

Je suis un peu perdu, c'est énervant car j'ai l'impression de tenir le bon bout.
En fait, je n'arrive pas à généraliser avec des n.
Si vous aviez une petite piste, j'en serais fort aise

Merci !

C'est vraiment byzarre. C'est comme si ils me demandaient de démontrer que 1+1=2

Ca s'emboîte... Je sais pas ce qu'il faut faire.

Est-ce que "expliquer" veut dire qu'on doit donner une explication en français, avec des mots et pas des calculs ?

Désolé de remonter le post mais je voulais rajouter la seconde partie de l'exercice, qui consiste plus à appliquer le raisonnement par récurrence.

2) Démontrer par récurrence que $3^n$ divise $u_n$ . Conclure.

Je crois que je vais me débrouiller pour la 1) mais pour celle-ci j'aimerais un petit éclaircissement.

Initialisation :
pour n = 0, $3^n$ = 1 et $u_n$ = 1 = 1×1

$P_o$ est vérifiée.

Hérédité :

On suppose $P_n$ vraie pour un certain n≥0.

Et après il faut vérifier pour n+1
là, je doute un peu.

Je pensais partir de $u$ n $3^n$ × m (où m serait un entier naturel) ?
Ce qui me donnerait, d'après la question 1) :
$u</em>{n+1}$ = $3^n$ ×m) $(10^{2×$3n} $10^{3n}$ +1)

Puis, en développant puis factorisation par $3^n$ :

$u_{n+1}$ = $3^n$ (m. $10^{2×3n}$ +m. $10^{3n}$ +m)

Est-ce que ça suffit pour prouver que $3^n$ divise $u_{n+1}$ ? Ca me parait byzarre...

Il faut montrer que $3^{n+1}$ divise $u_{n+1}$ .
Or, $3^n$ divise $u_{n+1}$ d'après l'HR et la formule du 1).
Maintenant, il faudrait voir si 3 divise $10^{2×$3n} $10^{3n}$ +1.
C'est clair d'après la somme des chiffres, non ?

Tu as en effet

$u _1 = 111$ alors le premier 1 a ${10^2}$ pour ordre de valeur

$_2= 111111 = {111} , \times , {10^3} + u _1$ alors le premier 1 a ${10^5}$ pour ordre de valeur

$_3= 111111111 = {111} , \times , {10^6} + u _2$ le premier 1 a ${10^8}$ pour ordre de valeur

etc....

si $u _{n} =$ $111$ $111$ …... $111$ avec n paquets de (111) alors il faut déterminer l'ordre de grandeur du premier 1

Idem avec $u _{n+1} =$ $111$ $111$ $111$ …... $111$ avec n+1 paquets de (111)

ensuite il suffit d'écrire $111 \times , {10^2}) + ({1} , \times , {10}) + 1$

J'espère d'avoir un peu éclairci les idées

à Zauctore : quand tu parles de la somme des chiffres, tu veux dire que je décompose le nombre 111.....111 et que j'additione les 1 ?
en tout cas merci pour la confirmation.

Et à Zorro : merci pour la réponse. J'ai l'impression toutefois que tu as mal lu l'énoncé : le nombre $u_n$ est écrit avec $em>3^n$ chiffres 1 et pas $_{3×n}$
On a donc $u_2$ =111111111=111× $10^6$ et on a un ordre de grandeur de $10^8$
et $u_3$ =111111111111111111111111111= 111× $10^{24}$ avec un ordre de grandeur de $10^{26}$

Enfin, je suis passé outre et pour l'ordre de grandeur de $u_n$ , j'imagine que c'est quelquechose comme $10^{3n-1}$ ?

Salut.
Non : avec la relation (1)

$un+1=un(102⋅3n+103n+1)u_{n+1} = u_n \big(10^{2\cdot3^n}+10^{3n}+1\big)$

il suffit de prouver que

$102⋅3n+103n+110^{2\cdot3^n}+10^{3n}+1$

est divisible par 3. C'est immédiat, non ?

Je dois avoir quelques lacunes sur les opérations avec des puissances. Je ne vois pas.

Tout ce que je vois, c'est qu'à chaque fois on ajoute $3^n$ à l'exposant ?

Sinon, je crois que j'ai compris pour la question 1. Voilà comment je le rédigerais :

Si $u_n$ est le nombre 111...111 avec $3^n$ chiffres 1, alors on a
$u_1$ = 111
$u_2$ = 111111111 = $u_1$ . $10$ ^6 $u_1$ . $10$ ^3 $u_1$

Si on généralise avec n, on retrouve la formule (1) :
$u$ _{n+1} $u_n$ .$10^{2.$3n} $u_n$ . $10$ ^{3n} $u_n$
$=(10^{2.$3n} $10^{3n}$ +1) $u_n$

Est-ce correctement rédigé ?

Et, je suis désolé Zauctore, mais j'aurais besoin de plus de précision.

Hier soir je n'avais pas les yeux en face des trous et aujourd'hui je n'ai pas le courage de passer par des formules LaTeX ...

partons de $U_n$ écrit avec $3^n$ chiffres 1

regardons A = $10^{2.3n}$ + $10^{3n}$ + 1) $U_n$

A = $10^{2.3n}$ $U_n$ + $10^{3n}$ $U_n$ + $U_n$

$U_n$ est écrit $3^n$ chiffres 1

$10$ ^{3n} $U_n$ est ecrit avec $3^n$ chiffres 1 suivis de $3^n$ chiffres 0

$10^{2.3n}$ $U_n$ est écrit avec $3^n$ chiffres 1 suivis de $10^{2.3n}$ chiffres 0

donc la somme est écrite avec $3^n$ puis $3^n$ puis $3^n$ chiffres 1

soit

$3^n$ + $3^n$ + $3^n$ chiffres 1

or $3^n$ + $3^n$ + $3^n$ = $3^{n+1}$

donc A = $U_{n+1}$

Pour la 2, Zauctore t'a mis sur la piste

quels sont les chiffres qui constituent $10^{2.3n}$ + $10^{3n}$ + 1) ?

Quelle critère utilises-tu pour savoir si un nombre est divisible par 3 ?

les chiffres ... 10+10+1..ça fait 21 mais avec les exposants ça doit pas être pareil ? non ?

bouh... je suis foutu, j'arrive même pas à voir un truc évident...

Les chiffres utilisés sont dans l'ordre

(1), (des 0), (1), (des 0) et (1) quand on additionne ces chiffres que trouve-t-on ?

... 3 ?

Je ne vois pas vraiment où vous voulez en venir

Rappelle-toi le collège : lorsque la somme des chiffres d'un nombre entier est divisible par 3, le nombre lui-même est aussi divisible par 3.

ah ? je ne me souvenais pas de ça !
C'est une propriété accpetée dans le monde des mathématiques ?

mais pour

$10^{2.$3n} $10^{3n}$ +1

je ne peux pas vraiment faire 10 + 10 + 1 à cause des exposants.
On s'en fiche ?

Tu peux le vérifier autant que tu veux. Par exemple, le nombre 597 est divisible par 3 car 597/3 = 199... or, 5+9+7 = 21, qui est divisible par 3 : ça semble marcher !

En fait, ça se démontre en jouant sur le fait que 10 = 9-1, 100 = 99-1, etc. dans la décomposition décimale des entiers.

Maintenant, $10^k$ s'écrit avec un 1 et plein de 0... Alors, réfléchis à la somme des chiffres de $10^{2.$3n} $10^{3n}$ +1.

Oui, oui, évidemment ! J'ai compris, merci beaucoup !

Je ne connaissait pas la propriété (ou je l'avais oubliée). C'est ça qui me manquait..

La correction de l'exercice a été donnée aujourd'hui et ils l'ont démontré comme ça aussi.

Merci de m'avoir aidé et merci de votre patience

Au revoir