Raisonnement par récurrence et suites (svp, casse-tête horrible)



  • Bonjour à tous !
    On m'a donné un petit problème sur les suites et le raisonnement par récurrence.

    Voici l'énoncé :

    *Le but du problème est de démontrer que 1111...1111 (81 chiffres 1) est divisible par 81.

    Soit unu_n le nombre 111...111 écrit avec 3n3^n chiffres 1.*

    Commencons déjà par la première question :

    1) Expliquer la relation : uu{n+1}$=(10^{2×$3n}+103n+10^{3n}+1)×unu_n
    Voilà où j'en suis : j'ai compris comment la relation fonctionne.
    En développant, j'obtiens uu
    {n+1}=un=u_n.$10^{2×$3n}$+u_{n.$103n}+un+u_n

    J'arrive donc à comprendre comment on passe de 1111...11 avec 3n3^n chiffres 1 à 111...111 avec 3n+13^{n+1} chiffres 1.

    exemple avec n=1 :
    unu_n = 111 (31(3^1 chiffres 1)
    un+1u_{n+1} = 111000000 + 111000 + 111 = 111111111 ; on a 323^2 chiffres 1

    Mais, maintenant, comment le démontrer par le calcul ?
    Dois-je partir de la relation de départ, développer pour trouver quelque chose de plus explicite, ou trouver une autre formule, comme l'expression de unu_n avec une suite d'additions pour finalement arriver à la relation donnée dans l'énoncé ?

    Je suis un peu perdu, c'est énervant car j'ai l'impression de tenir le bon bout.
    En fait, je n'arrive pas à généraliser avec des n.
    Si vous aviez une petite piste, j'en serais fort aise

    Merci !



  • C'est vraiment byzarre. C'est comme si ils me demandaient de démontrer que 1+1=2

    Ca s'emboîte... Je sais pas ce qu'il faut faire.

    Est-ce que "expliquer" veut dire qu'on doit donner une explication en français, avec des mots et pas des calculs ?



  • Désolé de remonter le post mais je voulais rajouter la seconde partie de l'exercice, qui consiste plus à appliquer le raisonnement par récurrence.

    2) Démontrer par récurrence que 3n3^n divise unu_n. Conclure.

    Je crois que je vais me débrouiller pour la 1) mais pour celle-ci j'aimerais un petit éclaircissement.

    Initialisation :
    pour n = 0, 3n3^n= 1 et unu_n = 1 = 1×1

    PoP_o est vérifiée.

    Hérédité :

    On suppose PnP_n vraie pour un certain n≥0.

    Et après il faut vérifier pour n+1
    là, je doute un peu.

    Je pensais partir de uun=3n=3^n × m (où m serait un entier naturel) ?
    Ce qui me donnerait, d'après la question 1) :
    u</em>n+1u</em>{n+1}= (3n(3^n×m) $(10^{2×$3n}+103n+10^{3n}+1)

    Puis, en développant puis factorisation par 3n3^n :

    un+1u_{n+1} = 3n3^n (m.$10^{2×3n}$+m.103n10^{3n}+m)

    Est-ce que ça suffit pour prouver que 3n3^n divise un+1u_{n+1} ? Ca me parait byzarre...



  • Il faut montrer que 3n+13^{n+1} divise un+1u_{n+1}.
    Or, 3n3^n divise un+1u_{n+1} d'après l'HR et la formule du 1).
    Maintenant, il faudrait voir si 3 divise $10^{2×$3n}+103n+10^{3n}+1.
    C'est clair d'après la somme des chiffres, non ?



  • Tu as en effet

    u1=111u _1 = 111 alors le premier 1 a 102{10^2} pour ordre de valeur

    u2=111111=111,×,103+u1u _2= 111111 = {111} , \times , {10^3} + u _1 alors le premier 1 a 105{10^5} pour ordre de valeur

    u3=111111111=111,×,106+u2u _3= 111111111 = {111} , \times , {10^6} + u _2 le premier 1 a 108{10^8} pour ordre de valeur

    etc....

    si un=u _{n} = 111111 111111 …...111111avec n paquets de (111) alors il faut déterminer l'ordre de grandeur du premier 1

    Idem avec un+1=u _{n+1} =111111 111111 111111…...111111 avec n+1 paquets de (111)

    ensuite il suffit d'écrire 111=(1,×,102)+(1,×,10)+1111 = ({1} , \times , {10^2}) + ({1} , \times , {10}) + 1

    J'espère d'avoir un peu éclairci les idées



  • à Zauctore : quand tu parles de la somme des chiffres, tu veux dire que je décompose le nombre 111.....111 et que j'additione les 1 ?
    en tout cas merci pour la confirmation.

    Et à Zorro : merci pour la réponse. J'ai l'impression toutefois que tu as mal lu l'énoncé : le nombre unu_n est écrit avec <em>3n<em>3^n chiffres 1 et pas $_{3×n}$
    On a donc u2u_2=111111111=111×10610^6 et on a un ordre de grandeur de 10810^8
    et u3u_3=111111111111111111111111111= 111×102410^{24} avec un ordre de grandeur de 102610^{26}

    Enfin, je suis passé outre et pour l'ordre de grandeur de unu_n, j'imagine que c'est quelquechose comme 103n110^{3n-1} ?



  • Salut.
    Non : avec la relation (1)

    un+1=un(1023n+103n+1)u_{n+1} = u_n \big(10^{2\cdot3^n}+10^{3n}+1\big)

    il suffit de prouver que

    1023n+103n+110^{2\cdot3^n}+10^{3n}+1

    est divisible par 3. C'est immédiat, non ?



  • Je dois avoir quelques lacunes sur les opérations avec des puissances. Je ne vois pas.

    Tout ce que je vois, c'est qu'à chaque fois on ajoute 3n3^n à l'exposant ?

    Sinon, je crois que j'ai compris pour la question 1. Voilà comment je le rédigerais :

    Si unu_n est le nombre 111...111 avec 3n3^n chiffres 1, alors on a
    u1u_1 = 111
    u2u_2= 111111111 = u1u_1.1010^6+u1+u_1.1010^3+u1+u_1

    Si on généralise avec n, on retrouve la formule (1) :
    uu_{n+1}=un=u_n.$10^{2.$3n}+un+u_n.1010^{3n}+un+u_n
    $=(10^{2.$3n}+103n+10^{3n}+1) unu_n

    Est-ce correctement rédigé ?

    Et, je suis désolé Zauctore, mais j'aurais besoin de plus de précision.



  • Hier soir je n'avais pas les yeux en face des trous et aujourd'hui je n'ai pas le courage de passer par des formules LaTeX ...

    partons de UnU_n écrit avec 3n3^n chiffres 1

    regardons A = (102.3n(10^{2.3n} + 103n10^{3n} + 1) UnU_n

    A = 102.3n10^{2.3n} UnU_n + 103n10^{3n} UnU_n + UnU_n

    UnU_n est écrit 3n3^n chiffres 1

    1010^{3n}UnU_n est ecrit avec 3n3^n chiffres 1 suivis de 3n3^n chiffres 0

    102.3n10^{2.3n} UnU_n est écrit avec 3n3^n chiffres 1 suivis de 102.3n10^{2.3n}chiffres 0

    donc la somme est écrite avec 3n3^n puis 3n3^n puis 3n3^n chiffres 1

    soit

    3n3^n + 3n3^n + 3n3^n chiffres 1

    or 3n3^n + 3n3^n + 3n3^n = 3n+13^{n+1}

    donc A = Un+1U_{n+1}



  • Pour la 2, Zauctore t'a mis sur la piste

    quels sont les chiffres qui constituent (102.3n(10^{2.3n} + 103n10^{3n} + 1) ?

    Quelle critère utilises-tu pour savoir si un nombre est divisible par 3 ?



  • les chiffres ... 10+10+1..ça fait 21 mais avec les exposants ça doit pas être pareil ? non ?

    bouh... je suis foutu, j'arrive même pas à voir un truc évident...



  • Les chiffres utilisés sont dans l'ordre

    (1), (des 0), (1), (des 0) et (1) quand on additionne ces chiffres que trouve-t-on ?



  • ... 3 ?

    Je ne vois pas vraiment où vous voulez en venir



  • Rappelle-toi le collège : lorsque la somme des chiffres d'un nombre entier est divisible par 3, le nombre lui-même est aussi divisible par 3.



  • ah ? je ne me souvenais pas de ça !
    C'est une propriété accpetée dans le monde des mathématiques ?

    mais pour

    $10^{2.$3n}+103n+10^{3n}+1

    je ne peux pas vraiment faire 10 + 10 + 1 à cause des exposants.
    On s'en fiche ?



  • Tu peux le vérifier autant que tu veux. Par exemple, le nombre 597 est divisible par 3 car 597/3 = 199... or, 5+9+7 = 21, qui est divisible par 3 : ça semble marcher !

    En fait, ça se démontre en jouant sur le fait que 10 = 9-1, 100 = 99-1, etc. dans la décomposition décimale des entiers.

    Maintenant, 10k10^k s'écrit avec un 1 et plein de 0... Alors, réfléchis à la somme des chiffres de $10^{2.$3n}+103n+10^{3n}+1.



  • Oui, oui, évidemment ! J'ai compris, merci beaucoup !

    Je ne connaissait pas la propriété (ou je l'avais oubliée). C'est ça qui me manquait..

    La correction de l'exercice a été donnée aujourd'hui et ils l'ont démontré comme ça aussi.

    Merci de m'avoir aidé et merci de votre patience

    Au revoir


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