Démontrer qu'une suite est croissante

Bonjour,
nous sommes en classe de TS et nous avons besoin de votre aide pour résoudre notre exercice.

Voici l'énoncé :

Pour tout n non nul :
U(n) = 1+1/2+1/3+...+1/n et V(n) = U(2n)-U(n)
Démontrez que la suite (Vn) est croissante.

Nous avons essayé de calculer avec V(n+1) et V(n) mais les calculs n'ont pas abouti.

Merci d'avance.

Bonjour,

Essayez de calculer donner une expression de $V_n$ puis d'en déduire $V_{n+1}$

IL sera alors plus simple de vérifier que $V_{n+1}$ - $V_n$ est positif

NON U(2n)-U(n) n'est pas égal à U(n)

$_n =1 + \frac{1}{2}+\frac{1}{4}+ \text{ ..... }+ \frac{1}{n}$

$_{2n} =1 + \frac{1}{2}+\frac{1}{4}+ \text{ ..... }+ \frac{1}{n}+ \frac{1}{n+1}+ \text{ ..... }+ \frac{1}{2n}$

donc $u _{2n} - u _n = ??$

Nous avons trouvé ça. Est ce que c'est juste?

V(n+1)-V(n)= U(2n+2)-U(n+1) - [(U(2n)+U(n)]

= 1/(2n+2)+ 1/(2n+1) - 1/(n+1)
= [(n+1)(2n+1)+(2n+2)(n+1)-(2n+2)(2n+1)]/[(2n+2)(n+1)(2n+1)]
$= (2 n$ ^2 $+ n + 1) / (4 n$ ^3 $10n^2$ +8n+2) > 0

donc V est croissante.

Merci

Oui en effet c'est cela

Merci beaucoup. Il ne reste qu'à le rédiger au propre.

$u2−un=(1n+1+12n)2u_{2}-u{n}=\frac{(\frac{1}{n+1} + \frac{1}{2n})}{2}$ × ( n-1 )

j'ai fais avec la formule de somme de termes .

Juliedeparis, ton calcul est faux
$_n =1 + \frac{1}{2}+\frac{1}{4}+ \text{ ..... }+ \frac{1}{n}$

$_{2n} =1 + \frac{1}{2}+\frac{1}{4}+ \text{ ..... }+ \frac{1}{n}+ \frac{1}{n+1}+ \text{ ..... }+ \frac{1}{2n}$

donc $_{2n} - u _n = \frac{1}{n+1}+ \text{ ..... }+ \frac{1}{2n}$

certes c'est la somme du (n+1)ième au (2n)ième termes d'une suite W telle que

donc $_{n}= \frac{1}{n}$ Or cette suite n'est ni géométrique ni arithmétique. On a donc aucune formule de somme à notre disposition.