suites



  • Bonjour,
    nous sommes en classe de TS et nous avons besoin de votre aide pour résoudre notre exercice.

    Voici l'énoncé :

    Pour tout n non nul :
    U(n) = 1+1/2+1/3+...+1/n et V(n) = U(2n)-U(n)
    Démontrez que la suite (Vn) est croissante.

    Nous avons essayé de calculer avec V(n+1) et V(n) mais les calculs n'ont pas abouti.

    Merci d'avance.



  • Bonjour,

    Essayez de calculer donner une expression de VnV_n puis d'en déduire Vn+1V_{n+1}

    IL sera alors plus simple de vérifier que Vn+1V_{n+1} - VnV_n est positif



  • NON U(2n)-U(n) n'est pas égal à U(n)

    un=1+12+14+ ..... +1nu _n =1 + \frac{1}{2}+\frac{1}{4}+ \text{ ..... }+ \frac{1}{n}

    u2n=1+12+14+ ..... +1n+1n+1+ ..... +12nu _{2n} =1 + \frac{1}{2}+\frac{1}{4}+ \text{ ..... }+ \frac{1}{n}+ \frac{1}{n+1}+ \text{ ..... }+ \frac{1}{2n}

    donc u2nun=??u _{2n} - u _n = ??



  • Nous avons trouvé ça. Est ce que c'est juste?

    V(n+1)-V(n)= U(2n+2)-U(n+1) - [(U(2n)+U(n)]

    = 1/(2n+2)+ 1/(2n+1) - 1/(n+1)
    = [(n+1)(2n+1)+(2n+2)(n+1)-(2n+2)(2n+1)]/[(2n+2)(n+1)(2n+1)]
    =(2n=(2n^2+n+1)/(4n+n+1)/(4n^3+10n2+10n^2+8n+2) > 0

    donc V est croissante.

    Merci



  • Oui en effet c'est cela



  • Merci beaucoup. Il ne reste qu'à le rédiger au propre.



  • u2un=(1n+1+12n)2u_{2}-u{n}=\frac{(\frac{1}{n+1} + \frac{1}{2n})}{2} × ( n-1 )

    j'ai fais avec la formule de somme de termes .



  • Juliedeparis, ton calcul est faux
    un=1+12+14+ ..... +1nu _n =1 + \frac{1}{2}+\frac{1}{4}+ \text{ ..... }+ \frac{1}{n}

    u2n=1+12+14+ ..... +1n+1n+1+ ..... +12nu _{2n} =1 + \frac{1}{2}+\frac{1}{4}+ \text{ ..... }+ \frac{1}{n}+ \frac{1}{n+1}+ \text{ ..... }+ \frac{1}{2n}

    donc u2nun=1n+1+ ..... +12nu _{2n} - u _n = \frac{1}{n+1}+ \text{ ..... }+ \frac{1}{2n}

    certes c'est la somme du (n+1)ième au (2n)ième termes d'une suite W telle que

    donc wn=1nw _{n}= \frac{1}{n} Or cette suite n'est ni géométrique ni arithmétique. On a donc aucune formule de somme à notre disposition.


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