Démontrer qu'un polynôme est le carré d'un autre polynôme

Salut! J'ai un dm sur les polynomes, et jsuis un peu bloquée dès le premier exercice... Ca démarre bien la 1ere S ^^
Voila lexo:

Démontrer que le polynôme défini par f(x)= x^4 - 6x³ + 11x² - 6x + 1 est le carré d'un polynôme g a déterminer...

Je crois qu'on doit dabord mettre la fonction polynôme ax²+bx+c au carré mais après... Jsuis un peu perdue :frowning2:

Est ce que vous pourriez m'aider svp?? Merci davance...

Bonjour,

Calculer (ax^2+bx+c)^2 c'est une bonne idée. Que trouves tu ?

Quelle condition doivent vérifier les coefficients de 2 polynômes égaux ?

Je trouve ax^4 + 2abx³ + 2acx² + bx² + 2bcx + c² ... Les coefficients doivent etre égaux aussi...non?

moi je trouve b²x² et non bx²

Maintenant appelons P(x) ce plynôme

quels sont les coefficients de P(x) pour x^4 pour x^3 pour x^2 et x et x^0 ?

ces coefficients doivent égaux à ceux de f(x). Il faut donc trouver 4 équations à 3 inconnues pour trouver a , b , c,

Bon calcul

Ben je pense que pour x^4 le coefficient est a, pr x³ c'est 2ab, pr x² c'est b², pour x c'est 2bc et pour x^0 c'est c²... C'est ca pour linstant?

attention

P(x) = ax^4 + 2abx³ + 2acx² + b²x² + 2bcx + c²
donc
P(x) = ax^4 + 2abx³ + (2ac + b²)x² + 2bcx + c²
or
f(x)= x^4 - 6x³ + 11x² - 6x + 1

donc quelles équations peux tu écrire afin que P(x) = f(x) pour tout réel x

Ah oui j'avais oublié de factoriser Pour les equations j'ai trouvé
a=1
2ab=-6
2ac+b²=11
2bc=-6
c²=1

Et que trouves tu comme solution ?

j'ai a=1, b=-3 et c=1.

maintenant... je remplace dans ax²+bx+c

Oui, en effet, pour les 2 questions.
Et tu as bien vérifié que ces 3 valeurs vérifient les 5 équations. Parce que dans une telle situation tu pourrais trouver 3 valeur qui vérifient 3 équations mais pas les 2 dernières . Or pour prouver l'existence de g, il faut bien que les 5 équations soient vérifiées.

La fonction g serait donc x²-3x+1? Mais c'est bizarre je trouve pas la solution qu'il faut si je fait (x²-3x+1)²...

Relis la question

""Démontrer que le polynôme défini par f(x)= x^4 - 6x³ + 11x² - 6x + 1 est le carré d'un polynôme g à déterminer...""

donc tu as montré que f(x) = (ax²+bx+c)² avec a=1 b=-3 et c=1

et tu veux que le polynôme défini par f(x) soit le carré d'un polynôme g

donc g(x) = ????

Alors mon polynôme g est bien égal a x²-3x+1?

Oui, en effet, g(x) = x² - 3x + 1

D'accord! Merci beaucoup!

Bonjour Ariana29,

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