Produit abcd



  • Bonjour,
    je souhaiterais que l'on me donne des indications car je bloque totalement. Voici l'exercice :

    Soit a, b, c, d quatre réels vérifiant :
    a=√(4-√(5-a))
    b=√(4+√(5-b))
    c=√(4-√(5-c))
    d=√(4+√(5-d))

    Calculer le produit abcd.

    J'ai essayé de mettre chaque égalité au carré, mais ça ne donne rien d'interessant.
    J'ai aussi pensé qu'il serait utile de "créer" deux fonctions :
    Soit f(x)=√(4-√(5-x)) et g(x)=√(4+√(5-x))
    On a alors f(a)=√(4-√(5-a)) , g(b)=√(4+√(5-b)), etc.
    Seulement, ça ne mène à rien...

    Merci d'avance.



  • Salut.
    Si tu pouvais trouver une expression développée du polynôme
    (xa)(xb)(xc)(xd)(x-a)(x-b)(x-c)(x-d)
    avec des coefficients numériques d'après les conditions de l'énoncé, ton problème serait résolu.



  • ou bien un polynôme du même genre, dont le terme constant (après développement) serait ton produit abcd.



  • Merci pour l'indication !

    Soit P(x)=(x-a)(x-b)(x-c)(x-d)
    Je développe :
    P(x)=x4P(x)=x^4-cx³-dx³-11x³+cdx²+11cx²+11dx²+10x²-11cdx-10cx-10dx+10cd

    Je dois donc maintenant remplacer a, b, c et d par, respectivement, √(4-√(5-a)), b=√(4+√(5-b)), c=√(4-√(5-c)) et d=√(4+√(5-d)) ?

    Merci d'avance.



  • Ton dvlpt est soit incomplet, soit faux.

    Attention : dans l'énoncé, c'est
    a = √(4-√(5-a))
    b = √(4+√(5-b))
    c = √(4-√(5
    +c))
    d = √(4+√(5
    +d))

    Sinon, pars plutôt de a : alors a² = 4-√(5-a) d'où 5-a = (4-a²)²... d'où un polynôme P(x) dont a est racine. Reste à voir le lien avec b, c et d.



  • Concernant l'énoncé, je ne me suis pas trompé :
    C'est bien :

    c = √(4-√(5
    -c))
    d = √(4+√(5
    -d))
    😉

    Pour le développement, j'ai vérifié à la calculette et je n'ai pas fait d'erreur.
    Je ne vois pas bien où tu veux en venir avec le a² = 4-√(5-a)... ?



  • Alors a=c et b=d, vu ton énoncé ; il suffit de calculer ab par exemple.

    Je veux en venir à la fabrication d'un polynôme de degré le moindre dont a soit racine.



  • Regardez ce que je trouve :

    • a = √(4-√(5-a)
      ⇔ a²=4-√(5-a)
      ⇔ (4-a²)²=5-a
      16+a416+a^4-8a²+a-5=0
      a4a^4-8a²+a+11=0

    • b = √(4+√(5-b)
      ⇔ b²=4+√(5-b)
      ⇔ (b²-4)²=5-b
      16+b416+b^4-8b²+b-5=0
      b4b^4-8b²+b+11=0

    • c= √(4-√(5-c)
      ⇔ c²=4-√(5-c)
      ⇔ (4-c²)²=5-c
      16+c416+c^4-8c²+c-5=0
      c4c^4-8c²+c+11=0

    • d = √(4+√(5-d)
      ⇔ d²=4+√(5-d)
      ⇔ (d²-4)²=5-d
      16+d416+d^4-8d²+d-5=0
      d4d^4-8d²+d+11=0

    On peut donc poser : P(x)=x4P(x)=x^4-8x²+x+11
    Or P(x)=(x-a)(x-b)(x-c)(x-d)
    = xx^4(a+b+c+d)x3-(a+b+c+d)x^3+(ab+ac+ad+bc+bd+cd)x²-(abc+abd+acd+bcd)x+abcd

    En identifiant les termes de mêmes degrés, on a :
    {a=1
    {a+b+c+d=0
    {ab+ac+ad+bc+bd+cd=-8
    {bcd+acd+abd+abc=-1
    {abcd=11

    Or, seul abcd nous interesse.
    Ainsi, on a : abcd=11

    PS: Par contre, est-ce que ma rédaction est bonne ?



  • Pouvez-vous me dire si la méthode et la rédaction sont bonnes ?

    Y a-t-il des erreurs ?

    Merci d'avance.



  • Tu utilises des équivalences qui n'en sont à mon avis pas.

    Les calculs ont l'air bons.


    Attends ! du fait que :

    a = √(4-√(5-a)) = c = √(4-√(5-c))
    b = √(4+√(5-b)) = d = √(4+√(5-d))

    alors

    abcd = a²b² = (4-√(5-a)) (4+√(5-b)) = ...

    ça donnerait rien de plus simple ?



  • Zauctore
    Tu utilises des équivalences qui n'en sont à mon avis pas.

    Les calculs ont l'air bons.
    Ah oui, en effet, il s'agit d'implication.

    Citation
    Attends ! du fait que :

    a = √(4-√(5-a)) = c = √(4-√(5-c))
    b = √(4+√(5-b)) = d = √(4+√(5-d))

    alors

    abcd = a²b² = (4-√(5-a)) (4+√(5-b)) = ...

    ça donnerait rien de plus simple ?
    abcd = a²b² = (4-√(5-a)) (4+√(5-b)) = 11+a=11+b
    ??
    Mais ce que j'ai fais plus haut, ça ne suffit pas ?



  • Non ; je voulais parler d'une démarche alternative, sans utiliser ton résultat (abcd=11). Je ne sais pas si ça va aboutir...


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