Produit abcd

Bonjour,
je souhaiterais que l'on me donne des indications car je bloque totalement. Voici l'exercice :

Soit a, b, c, d quatre réels vérifiant :
a=√(4-√(5-a))
b=√(4+√(5-b))
c=√(4-√(5-c))
d=√(4+√(5-d))

Calculer le produit abcd.

J'ai essayé de mettre chaque égalité au carré, mais ça ne donne rien d'interessant.
J'ai aussi pensé qu'il serait utile de "créer" deux fonctions :
Soit f(x)=√(4-√(5-x)) et g(x)=√(4+√(5-x))
On a alors f(a)=√(4-√(5-a)) , g(b)=√(4+√(5-b)), etc.
Seulement, ça ne mène à rien...

Merci d'avance.

Salut.
Si tu pouvais trouver une expression développée du polynôme
$(x - a) (x - b) (x - c) (x - d)$
avec des coefficients numériques d'après les conditions de l'énoncé, ton problème serait résolu.

ou bien un polynôme du même genre, dont le terme constant (après développement) serait ton produit abcd.

Merci pour l'indication !

Soit P(x)=(x-a)(x-b)(x-c)(x-d)
Je développe :
$P(x)=x^4$ -cx³-dx³-11x³+cdx²+11cx²+11dx²+10x²-11cdx-10cx-10dx+10cd

Je dois donc maintenant remplacer a, b, c et d par, respectivement, √(4-√(5-a)), b=√(4+√(5-b)), c=√(4-√(5-c)) et d=√(4+√(5-d)) ?

Merci d'avance.

Ton dvlpt est soit incomplet, soit faux.

Attention : dans l'énoncé, c'est
a = √(4-√(5-a))
b = √(4+√(5-b))
c = √(4-√(5
+c))
d = √(4+√(5
+d))

Sinon, pars plutôt de a : alors a² = 4-√(5-a) d'où 5-a = (4-a²)²... d'où un polynôme P(x) dont a est racine. Reste à voir le lien avec b, c et d.

Concernant l'énoncé, je ne me suis pas trompé :
C'est bien :

c = √(4-√(5
-c))
d = √(4+√(5
-d))

Pour le développement, j'ai vérifié à la calculette et je n'ai pas fait d'erreur.
Je ne vois pas bien où tu veux en venir avec le a² = 4-√(5-a)... ?

Alors a=c et b=d, vu ton énoncé ; il suffit de calculer ab par exemple.

Je veux en venir à la fabrication d'un polynôme de degré le moindre dont a soit racine.

Regardez ce que je trouve :

a = √(4-√(5-a)
⇔ a²=4-√(5-a)
⇔ (4-a²)²=5-a
⇔ $16+a^4$ -8a²+a-5=0
⇔ $a^4$ -8a²+a+11=0
b = √(4+√(5-b)
⇔ b²=4+√(5-b)
⇔ (b²-4)²=5-b
⇔ $16+b^4$ -8b²+b-5=0
⇔ $b^4$ -8b²+b+11=0
c= √(4-√(5-c)
⇔ c²=4-√(5-c)
⇔ (4-c²)²=5-c
⇔ $16+c^4$ -8c²+c-5=0
⇔ $c^4$ -8c²+c+11=0
d = √(4+√(5-d)
⇔ d²=4+√(5-d)
⇔ (d²-4)²=5-d
⇔ $16+d^4$ -8d²+d-5=0
⇔ $d^4$ -8d²+d+11=0

On peut donc poser : $P(x)=x^4$ -8x²+x+11
Or P(x)=(x-a)(x-b)(x-c)(x-d)
= $x$ ^4 $a+b+c+d)x^3$ +(ab+ac+ad+bc+bd+cd)x²-(abc+abd+acd+bcd)x+abcd

En identifiant les termes de mêmes degrés, on a :
{a=1
{a+b+c+d=0
{ab+ac+ad+bc+bd+cd=-8
{bcd+acd+abd+abc=-1
{abcd=11

Or, seul abcd nous interesse.
Ainsi, on a : abcd=11

PS: Par contre, est-ce que ma rédaction est bonne ?

Pouvez-vous me dire si la méthode et la rédaction sont bonnes ?

Y a-t-il des erreurs ?

Merci d'avance.

Tu utilises des équivalences qui n'en sont à mon avis pas.

Les calculs ont l'air bons.

Attends ! du fait que :

a = √(4-√(5-a)) = c = √(4-√(5-c))
b = √(4+√(5-b)) = d = √(4+√(5-d))

alors

abcd = a²b² = (4-√(5-a)) (4+√(5-b)) = ...

ça donnerait rien de plus simple ?

Zauctore
Tu utilises des équivalences qui n'en sont à mon avis pas.

Les calculs ont l'air bons.
Ah oui, en effet, il s'agit d'implication.

Citation
Attends ! du fait que :

a = √(4-√(5-a)) = c = √(4-√(5-c))
b = √(4+√(5-b)) = d = √(4+√(5-d))

alors

abcd = a²b² = (4-√(5-a)) (4+√(5-b)) = ...

ça donnerait rien de plus simple ?
abcd = a²b² = (4-√(5-a)) (4+√(5-b)) = 11+a=11+b
??
Mais ce que j'ai fais plus haut, ça ne suffit pas ?

Non ; je voulais parler d'une démarche alternative, sans utiliser ton résultat (abcd=11). Je ne sais pas si ça va aboutir...