Les polynômes : factorisation de a^n - b^n



  • Salut tout le monde!

    Alors voila, j'ai un gros problème ^^
    Notre prof nous a donné un exo à faire à la maison et en plus il le relève!!
    Alors s'il vous plait, aidez-moi!!

    1. Développer :
      a) (a-b)(a+b)
      b) (a-b)(a²+ab+b²)
      c) (a-b)(a³+a²b+ab²+b³)

    Jusque là ça va. C'est maintenant que ça se complique. 😕

    1. Emettre une hypothèse relative à la factorisation de : aa^nbn-b^n , où n est un nombre entier naturel supérieur ou égal à 1

    2. Démontrer le résultat supposé de la question précédente.

    Voila, alors maintenant si quelqu'un a compris qu'il m'explique, ça serez vraiment chouette!!! En plus c'est pour vendredi!!!
    Merci d'avance et bisous à tous et à toutes

    Précision de ton titre, N.d.Z.



  • Salut Elodie

    Avant de passer à l'exposant n, tu as vu que

    $\begin{align*}a^2 - b^2\a^3-b^3\a^4 - b^4\end{align*}$

    sont factorisables par aba - b et que le second facteur a une forme bien particulière, non ?

    Est-ce que c'est encore vrai pour a5b5a^5 - b^5 ?



  • oui c'est aussi vrai pour aa^5b5-b^5
    Mais je vois toujours pas l'hypothèse que je peux en déduire. 😕



  • Tu as obtenu sans doute

    a5b5=(ab)(a4+a3b+a2b2+ab3+b4)a^5 - b^5 = (a-b)(a^4+a^3b+a^2b^2+ab^3+b^4)
    et il n'y a rien qui te saute aux yeux lorsque tu regardes attentivement tous ces résultats ?



  • ben on augmente a chaque fois le degré du second facteur, non c'est pas ça??



  • oui, évidemment.

    chacune des différences de la forme aka^k - bkb^k est factorisable par (a - b) est la première constatation

    une autre concerne la forme du second facteur, dont le degré est k-1 ; que dire de ses termes ?



  • alors là je sais pas du tout :frowning2:



  • Dans
    (ab)(a4+a3b+a2b2+ab3+b4)(a-b)(a^4+a^3b+a^2b^2+ab^3+b^4)
    observe les puissances de a ainsi que celles de b à l'intérieur de chaque monôme...



  • je vois ce que tu veux dire mais je sais pas comment l'exprimer :rolling_eyes:



  • c'est justement la part importante du travail qui te revient !
    ça te sera profitable : acharne-toi lol ! par exemple en essayant de prévoir ce que ça donnerait pour l'exposant 5, ou 10, ou 15, etc.



  • ben plus l'exposant n augmente, plus il y a de monôme dans le second facteur et les exposants de ce facteur sont plus petits que l'exposant n
    C'est pas un truc dans ce genre la??



  • Sois plus précise !

    -les exposants de a : 4 - 3 - 2 - 1 - 0
    -les exposants de b : 0 - 1 - 2 - 3 - 4

    dans a^5 - b^5.



  • donc si g bien compris ^^
    dans aa^6b6-b^6

    -les exposants de a ça sera 5 - 4 - 3 - 2 - 1 - 0
    -les exposants de b ça sera 0 - 1 - 2 - 3 - 4 - 5



  • Oui en effet, on pourrait émettre cette hypothèse

    donc pour a^n - b^n quelle hypothèse pourrais tu émettre



  • ben en faite je pense savoir ce qu'il faut mettre mais j'arrive pas à le formuler et je sais que c'est un gros problème et j'aime pas ça :frowning2:



  • Tu peux utiliser des ..... à mettre à la place des termes qu'on peut trouver grâce à l'expressions des autres

    tu mets les deux 1ers termes ..... le dernier



  • oué je vois en tout cas merci beaucoup vous m'avez sacrément aidée.
    et puis si j'ai d'autre problèmes je sais ou aller 😁
    Et encore une fois merci



  • Par exemple
    a9b9=(ab)(a8+a7b+a6b2++ab7+b8)a^9-b^9=(a-b)(a^8+a^7b+a^6b^2+\cdots+ab^7+b^8).


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