Les polynômes : factorisation de a^n - b^n

Salut tout le monde!

Alors voila, j'ai un gros problème ^^
Notre prof nous a donné un exo à faire à la maison et en plus il le relève!!
Alors s'il vous plait, aidez-moi!!

Développer :
a) (a-b)(a+b)
b) (a-b)(a²+ab+b²)
c) (a-b)(a³+a²b+ab²+b³)

Jusque là ça va. C'est maintenant que ça se complique.

Emettre une hypothèse relative à la factorisation de : $a$ ^n $b^n$ , où n est un nombre entier naturel supérieur ou égal à 1
Démontrer le résultat supposé de la question précédente.

Voila, alors maintenant si quelqu'un a compris qu'il m'explique, ça serez vraiment chouette!!! En plus c'est pour vendredi!!!
Merci d'avance et bisous à tous et à toutes

Précision de ton titre, N.d.Z.

Salut Elodie

Avant de passer à l'exposant n, tu as vu que

$\begin{align*}a^2 - b^2\a^3-b^3\a^4 - b^4\end{align*}$

sont factorisables par $a - b$ et que le second facteur a une forme bien particulière, non ?

Est-ce que c'est encore vrai pour $a^5 - b^5$ ?

oui c'est aussi vrai pour $a$ ^5 $b^5$
Mais je vois toujours pas l'hypothèse que je peux en déduire.

Tu as obtenu sans doute

$a^5 - b^5 = (a-b)(a^4+a^3b+a^2b^2+ab^3+b^4)$
et il n'y a rien qui te saute aux yeux lorsque tu regardes attentivement tous ces résultats ?

ben on augmente a chaque fois le degré du second facteur, non c'est pas ça??

oui, évidemment.

chacune des différences de la forme $a^k$ - $b^k$ est factorisable par (a - b) est la première constatation

une autre concerne la forme du second facteur, dont le degré est k-1 ; que dire de ses termes ?

alors là je sais pas du tout :frowning2:

Dans
$a-b)(a^4+a^3b+a^2b^2+ab^3+b^4)$
observe les puissances de a ainsi que celles de b à l'intérieur de chaque monôme...

je vois ce que tu veux dire mais je sais pas comment l'exprimer :rolling_eyes:

c'est justement la part importante du travail qui te revient !
ça te sera profitable : acharne-toi lol ! par exemple en essayant de prévoir ce que ça donnerait pour l'exposant 5, ou 10, ou 15, etc.

ben plus l'exposant n augmente, plus il y a de monôme dans le second facteur et les exposants de ce facteur sont plus petits que l'exposant n
C'est pas un truc dans ce genre la??

Sois plus précise !

-les exposants de a : 4 - 3 - 2 - 1 - 0
-les exposants de b : 0 - 1 - 2 - 3 - 4

dans a^5 - b^5.

donc si g bien compris ^^
dans $a$ ^6 $b^6$

-les exposants de a ça sera 5 - 4 - 3 - 2 - 1 - 0
-les exposants de b ça sera 0 - 1 - 2 - 3 - 4 - 5

Oui en effet, on pourrait émettre cette hypothèse

donc pour a^n - b^n quelle hypothèse pourrais tu émettre

ben en faite je pense savoir ce qu'il faut mettre mais j'arrive pas à le formuler et je sais que c'est un gros problème et j'aime pas ça :frowning2:

Tu peux utiliser des ..... à mettre à la place des termes qu'on peut trouver grâce à l'expressions des autres

tu mets les deux 1ers termes ..... le dernier

oué je vois en tout cas merci beaucoup vous m'avez sacrément aidée.
et puis si j'ai d'autre problèmes je sais ou aller
Et encore une fois merci

Par exemple
$a9−b9=(a−b)(a8+a7b+a6b2+⋯+ab7+b8)a^9-b^9=(a-b)(a^8+a^7b+a^6b^2+\cdots+ab^7+b^8)$ .