Dérivation étude d'une fonction avec fonction auxiliaire



  • Bonjour j'ai un devoir que je n'arrive pas à terminer je bloque sur certaines parties qui m'empêche de réaliser le reste c'est l'exercice A p68 du livre bordas de terminale S

    Partie 1
    soit g une fonction définie sur R par g(x) = x³-3x-3
    a- étudier son sens de variation
    b- démontrer que l'équation g(x)=0 admet une solution que l'on note alpha
    c- déterminer le signe de g

    partie 2

    a- soit la fonction (2x³+3)/(x²-1) définie sur ]1 ; +linfine[
    démontrer que le signe de f'(x) = à celui de g sur cette intervalle
    b- En déduire la variation de la courbe f
    c- En utilisant la définition de alpha démontrez que :
    f(alpha)=3alpha.

    voila j'ai trouvé la premiere partie de l'exo mais pas pas la 2ème ou je bloque avec la dérivée de f(x) et avec alpha merci d'avance



  • Salut

    1. a/ Je présume que

    f(x)=2x3+3x21f(x) = \frac{2x^3+3}{x^2-1}
    alors on calcule la dérivée comme celle d'un quotient, avec la formule bien connue

    (uv)=uvuvv2\left(\frac{u}{v}\right)' = \frac{u'v - uv'}{v^2}.

    1. c/ Maintenant, il faut un peu "bidouiller" dans les calculs. Tu sais que

    α33α3=0(1)\alpha^3-3\alpha-3=0\qquad(1).
    Or, tu as aussi

    f(α)=2α3+3α21f(\alpha) = \frac{2\alpha^3+3}{\alpha^2-1}.
    D'après (1), on a

    3=α33α3 = \alpha^3-3\alpha,
    que l'on peut utiliser pour remplacer dans le numérateur de f(α)f(\alpha). Il ne reste qu'à simplifier...



  • Oki j'ai compris pour la relation avec alpha mais pour la dérivée sa me donne : f'(x) = 6x²(x²-1)-2x(2x³+3) pr le numérateur en simplifiant ça me donne des 4xpuissance4 -6x²-6x or j'ai essayer de faire X=x² pour avoir un polynome mais le -6x me bloque.



  • ça fait 6x46x^4 - 4x44x^4 - 6x² - 6x, qui se factorise par 2x, qui est positif sur l'intervalle considéré.


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