somme de fraction en lettres superieur a 4



  • Bonjour!
    Desolé si le titre n'est pas super clair.
    J'ai un exercice que je n'arrive pas a faire dont voici l'enoncé:

    a,b,c,d sont quatre reels non nuls. Montrer que a/d + b/c + c/b + d/a ≥ 4

    Je n'y arrive vraiment pas et depuis le temp que j'y suis je commence a desesperer 😕
    Je remerci tous ceux qui prendront la peine de me lire et ceux qui me repondrons!



  • Les 4 réels ne seraient-ils pas positifs ?

    Parce que si je prends
    a = -1
    b = 2
    c = 3
    d = 4

    je trouve, sauf erreurs de calculs, -25/12 ?



  • Si on est dans le cas de nombres positifs il suffit de montrer que pour tous réels positifs non nuls a et b

    alors a/b + b/a >= 2

    ceci est vrai parce que (a - b)2b)^2 = a2a^2 + b2b^2 - 2ab

    or (a - b)2b)^2 >= 0

    donc a2a^2 + b2b^2 - 2ab >= 0

    donc a2a^2 + b2b^2 >= 2ab

    on peut diviser par ab qui est positif

    (a2(a^2 + b2b^2) / ab >= 2



  • D'ailleurs cela peut se généraliser : Démonter que

    $\text{ soient }a_{1}, a_{2}, a_{3}, \text{ ..... }, a_{n-1}, a_{n} , \in , {\mathbb {r^{*+}}$

     alors a1an+a2an1+ ..... +an1a2+ana1,,n\text{ alors } {\frac{ a_{1}}{ a_{n}} + \frac{ a_{2}}{ a_{n-1}} + \text{ ..... } + \frac{ a_{n-1}}{ a_{2}}+ \frac{ a_{n}}{ a_{1}}} , \geq , {n}

    Une piste :

    • regarder avec n = 2 (fait ci dessus)
    • regarder avec n = 3 (évident)
      etc ...
    • séparer les cas où n est pair de ceux où n est impair

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