Polynômes... sommes d'entiers, de carrés d'entiers



  • Bonjour a tous, c'est encore au sujet du dm, j'ai un problème dans mon exercice 2, je comprends pas vraiment l'énoncé du b. et d. Est ce que quelqu'un pourrai me donner un coup de pouce?

    a) Déterminer un polynôme P du second degré tel que l'on ait, pour tout réel x: P(x+1) - P(x) = x.

    La j'ai trouvé P(x)= 1/2x² - 1/2x. [ je pense pas que vous ayez besoin que je détaille les calculs]

    Et b) Ecrire l'égalité précédante pour x=1, x=2, .......................x=n
    En déduire la S1=1+2+..........+n

    La je comprends pas très bien...

    Ensuite c) Déterminer un polynôme Q du troisième degré tel que l'on ait pour tout réel x: Q(x+1)-Q(x)=x²

    La j'ai trouvé Q(x)=1/3x³ - 1/2x²+1/6x

    Et enfin d) En déduire la S2= 1²+2²+........+n²

    La c'est pareil je sais pas trop ... Merci d'avance pour vos conseils!

    Titre légérement précisé, N.d.Z.



  • Salut !

    Le but du problème est de trouver une formule pour calculer les sommes du genre 1+2+3+4+5+....+999+1000 ou 1²+2²+3²+4²+5²+...+999²+1000² qui sont un peu fatigantes à faire à la main, n'est-ce pas.

    Alors voici pour la somme des entiers : avec la propriété de P, tu écris

    s1(n)=1+2+3++(n1)+n =[p(2)p(1)]+[p(3)p(2)]+[p(4)p(3)]++[pn)p(n1)]+[p(n+1)p(n)]s_1(n) = 1+2+3+\cdots+(n-1)+n \ = [p(2)-p(1)]+[p(3)-p(2)]+[p(4)-p(3)] + \cdots + [pn)-p(n-1)]+[p(n+1)-p(n)]

    (j'espère que tu es d'accord) et tu essaies un peu de simplifier le membre de droite.

    Tu adapteras la méthode pour la somme des carrés.



  • okay je vais essayer je reviendrais quand jaurai trouvé... Merci de ton aide 😉



  • Alors pour la première question je fais P(x+1)-P(x)=P(1+1)-P(1) dc
    P(2)-P(1) ca fait 1... Pr x=2 ca fait P(2+1)-P(2)=P(3)-P(2)=2... Pour x=n ca fait P(n+1)-P(n)...................
    Et quand on simplifie ton expression ca revient a 1+2+3...+(n-1)+n ... lala jsuis toute perdue :s



  • Je vais essayer d'être plus clair.

    D'une part tu as ceci, puisque P(x+1) - P(x) = x

    p(2)p(1)=1 p(3)p(2)=2 p(4)p(3)=3   \dots  \p(n)p(n1)=n1 p(n+1)p(n)=n.p(2)-p(1) = 1\ p(3)-p(2) = 2\ p(4)-p(3) = 3 \ \ \ \dots \ \ \p(n) - p(n-1) = n-1 \ p(n+1) - p(n) = n.

    Donc en ajoutant toutes ces égalités membre-à-membre, on trouve cette grosse relation

    (p(2)p(1))+(p(3)p(2))+(p(4)p(3))++(p(n)p(n1))+(p(n+1)p(n))=1+2+3++(n1)+n.(p(2)-p(1)) + (p(3)-p(2)) + (p(4)-p(3)) +\cdots+ (p(n) - p(n-1)) + (p(n+1) - p(n)) = 1+2+3+\cdots + (n-1) + n.

    Mais alors, dans le 1er membre (celui de gauche), tu observes un phénomène dit de "télescopage" : la plupart des termes disparaissent deux à deux, n'est-ce pas ? pour donner une expression relativement simple, en fonction de P et de n, qui s'exprime en fait seulement en fonction de n, d'ailleurs.

    En définitive, il reste donc dans cette grosse relation :

    (une expression fonction de n)=1+2+3++n.\text{(une expression fonction de }n) = 1+2+3+\cdots +n.



  • Mais j'ai besoin de simplifier? Je fais juste [1-0]+[3-1]+[6-3]+...+(P(n)-P(n-1))+(P(n+1)-P(n))....
    Mais quand je développe (P(n)-P(n-1))+(P(n+1)-P(n)) jai pas (n-1)+n... et ca fait je sais pas combien de fois que jessaye 😢



  • Non, ce n'est pas ce que je voulais dire. Regarde le début :

    [
    P(2)- P(1)] + [
    P(3)-
    P(2)] + [
    P(4)-
    P(2)] + ...

    ok ?

    Que reste t-il, en définitive ?



  • Ben la il va rester 1+2+3...



  • Ahlala. Reprenons avec peu de termes, par exemple 5, histoire d'illustrer le principe. On veut calculer (avec une méthode qui puisse s'appliquer à tous les cas) la somme S(10)=1+2+3+4+5.

    Avec le polynôme que l'on t'a demandé de trouver, tu obtiens ceci :
    P(2)-P(1)=1
    P(3)-P(2)=2
    P(4)-P(3)=3
    P(5)-P(4)=4
    P(6)-P(5)=5.

    En ajoutant tout ça membre-à-membre, tu obtiens l'égalité
    P(2)-P(1) + P(3)-P(2) + P(4)-P(3) + P(5)-P(3) + P(6)-P(5) = 1+2+3+4+5.

    Sans faire intervenir (pour l'instant !) l'expression du polynôme P, tâche de simplifier le seul membre de gauche avec des éliminations de termes. Je ne remets pas les couleurs, quand même... @ toi !



  • La il me reste P(6)-P(1)



  • Oui ! donc P(6) - P(1) = 1+2+3+4+5.
    Et si on avait demandé de sommer 1+2+3+...+99+100 ?



  • Heu... P(101) - P(1)..... ?



  • Bravo. Tu peux passer au cas général, en fonction de n, maintenant.

    Que trouves-tu pour la somme 1+2+3+...+(n-1)+n ?



  • Euhhh la ... Je sais pas ^^ Ce que je pense ca peut pas etre ca



  • Ne sois pas timide voyons : on est entre nous !

    Alors avant de passer à n, voyons ce qu'on sait :

    1+2+3+4+5 = P(6)-P(1)

    1+2+3+...+99+100 = P(101)-P(1)

    Si on écrit comme dans des posts précédents,
    P(2)-P(1) + P(3)-P(2) + P(4)-P(3) + .... + P(n)-P(n-1) + P( ? )-P( ?? )
    = 1+2+3 + ... + n-1 + n

    sauras-tu combler les "?" ?

    et ensuite éliminer les termes qui sont opposés ?



  • ...+P(n)-P(n-1)+P(n+1)-P(n) et ca fera sans doute (n-1)+n?



  • Exact.

    Maintenant, que donne l'élimination ?



  • P(4)-P(1)+(n-1)+n? Non??



  • (1000 excuses, j'étais parti)

    Tu as vu que le membre de gauche est

    P(2)-P(1) + P(3)-P(2) + P(4)-P(3) + .... + P(n)-P(n-1) + P(n+1)-P(n)

    On suppose bien entendu que n est un "grand" nombre, sinon, on calculerait à la main.

    Tu as aussi vu les éliminations deux par deux, genre P(2) et -P(2). Il en va de même pour P(4) et -P(4), car il se cache dans les points de suspension. et ainsi de suite. Jusqu'à P(n) qui disparaît.

    Il ne reste que deux termes ; lesquels ? Pour le vérifier, jette à nouveau un oeil à ce que tu as trouvé pour 1+2+3+4+5 et pour 1+2+...+100.

    Courage, Misty !



  • Donc ca serait -P(1)+(n-1)+n alors...?



  • Tu travailles sur le membre de gauche ; il y a forcément une lettre P dans chaque terme : sois plus rigoureuse.
    Les P(n) disparaissent, sans doute aussi les P(n-1), etc.



  • Bah jvois pas... jvais encore dire des conneries ^^



  • Ré-essaie avec l'exemple numérique de 1+2+3+4+...+10 000 pour voir.



  • Bah la ca fera P(10001)-P(1) je pense



  • Exact.

    Donc pour 1+2+3+...+n ?



  • P(n)-P(1)?



  • Non, parce que n = P(n+1) - P(n). Donc ?



  • P(n+1)-P(n)-P(1)???



  • Pas tout-à-fait. Vois :

    P(2)-P(1) + P(3)-P(2) + P(4)-P(3) + ....+ P(n)-P(n-1) + P(n+1)

    • P(n)


  • Euh... est ce qu'il pourrait rester (n-1)(n+1)?


Se connecter pour répondre
 

Il semble que votre connexion ait été perdue, veuillez patienter pendant que nous vous re-connectons.