Polynômes... sommes d'entiers, de carrés d'entiers
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MMisty dernière édition par
Bonjour a tous, c'est encore au sujet du dm, j'ai un problème dans mon exercice 2, je comprends pas vraiment l'énoncé du b. et d. Est ce que quelqu'un pourrai me donner un coup de pouce?
a) Déterminer un polynôme P du second degré tel que l'on ait, pour tout réel x: P(x+1) - P(x) = x.
La j'ai trouvé P(x)= 1/2x² - 1/2x. [ je pense pas que vous ayez besoin que je détaille les calculs]
Et b) Ecrire l'égalité précédante pour x=1, x=2, .......................x=n
En déduire la S1=1+2+..........+nLa je comprends pas très bien...
Ensuite c) Déterminer un polynôme Q du troisième degré tel que l'on ait pour tout réel x: Q(x+1)-Q(x)=x²
La j'ai trouvé Q(x)=1/3x³ - 1/2x²+1/6x
Et enfin d) En déduire la S2= 1²+2²+........+n²
La c'est pareil je sais pas trop ... Merci d'avance pour vos conseils!
Titre légérement précisé, N.d.Z.
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Zauctore dernière édition par
Salut !
Le but du problème est de trouver une formule pour calculer les sommes du genre 1+2+3+4+5+....+999+1000 ou 1²+2²+3²+4²+5²+...+999²+1000² qui sont un peu fatigantes à faire à la main, n'est-ce pas.
Alors voici pour la somme des entiers : avec la propriété de P, tu écris
s1(n)=1+2+3+⋯+(n−1)+n =[p(2)−p(1)]+[p(3)−p(2)]+[p(4)−p(3)]+⋯+[pn)−p(n−1)]+[p(n+1)−p(n)]s_1(n) = 1+2+3+\cdots+(n-1)+n \ = [p(2)-p(1)]+[p(3)-p(2)]+[p(4)-p(3)] + \cdots + [pn)-p(n-1)]+[p(n+1)-p(n)]s1(n)=1+2+3+⋯+(n−1)+n =[p(2)−p(1)]+[p(3)−p(2)]+[p(4)−p(3)]+⋯+[pn)−p(n−1)]+[p(n+1)−p(n)]
(j'espère que tu es d'accord) et tu essaies un peu de simplifier le membre de droite.
Tu adapteras la méthode pour la somme des carrés.
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MMisty dernière édition par
okay je vais essayer je reviendrais quand jaurai trouvé... Merci de ton aide
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MMisty dernière édition par
Alors pour la première question je fais P(x+1)-P(x)=P(1+1)-P(1) dc
P(2)-P(1) ca fait 1... Pr x=2 ca fait P(2+1)-P(2)=P(3)-P(2)=2... Pour x=n ca fait P(n+1)-P(n)...................
Et quand on simplifie ton expression ca revient a 1+2+3...+(n-1)+n ... lala jsuis toute perdue :s
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Zauctore dernière édition par
Je vais essayer d'être plus clair.
D'une part tu as ceci, puisque P(x+1) - P(x) = x
$p(2)-p(1) = 1\ p(3)-p(2) = 2\ p(4)-p(3) = 3 \ \ \ \dots \ \ \p(n) - p(n-1) = n-1 \ p(n+1) - p(n) = n.$
Donc en ajoutant toutes ces égalités membre-à-membre, on trouve cette grosse relation
(p(2)−p(1))+(p(3)−p(2))+(p(4)−p(3))+⋯+(p(n)−p(n−1))+(p(n+1)−p(n))=1+2+3+⋯+(n−1)+n.(p(2)-p(1)) + (p(3)-p(2)) + (p(4)-p(3)) +\cdots+ (p(n) - p(n-1)) + (p(n+1) - p(n)) = 1+2+3+\cdots + (n-1) + n.(p(2)−p(1))+(p(3)−p(2))+(p(4)−p(3))+⋯+(p(n)−p(n−1))+(p(n+1)−p(n))=1+2+3+⋯+(n−1)+n.
Mais alors, dans le 1er membre (celui de gauche), tu observes un phénomène dit de "télescopage" : la plupart des termes disparaissent deux à deux, n'est-ce pas ? pour donner une expression relativement simple, en fonction de P et de n, qui s'exprime en fait seulement en fonction de n, d'ailleurs.
En définitive, il reste donc dans cette grosse relation :
(une expression fonction de n)=1+2+3+⋯+n.\text{(une expression fonction de }n) = 1+2+3+\cdots +n.(une expression fonction de n)=1+2+3+⋯+n.
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MMisty dernière édition par
Mais j'ai besoin de simplifier? Je fais juste [1-0]+[3-1]+[6-3]+...+(P(n)-P(n-1))+(P(n+1)-P(n))....
Mais quand je développe (P(n)-P(n-1))+(P(n+1)-P(n)) jai pas (n-1)+n... et ca fait je sais pas combien de fois que jessaye
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Zauctore dernière édition par
Non, ce n'est pas ce que je voulais dire. Regarde le début :
[
P(2)- P(1)] + [
P(3)-
P(2)] + [
P(4)-
P(2)] + ...ok ?
Que reste t-il, en définitive ?
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MMisty dernière édition par
Ben la il va rester 1+2+3...
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Zauctore dernière édition par
Ahlala. Reprenons avec peu de termes, par exemple 5, histoire d'illustrer le principe. On veut calculer (avec une méthode qui puisse s'appliquer à tous les cas) la somme S(10)=1+2+3+4+5.
Avec le polynôme que l'on t'a demandé de trouver, tu obtiens ceci :
P(2)-P(1)=1
P(3)-P(2)=2
P(4)-P(3)=3
P(5)-P(4)=4
P(6)-P(5)=5.En ajoutant tout ça membre-à-membre, tu obtiens l'égalité
P(2)-P(1) + P(3)-P(2) + P(4)-P(3) + P(5)-P(3) + P(6)-P(5) = 1+2+3+4+5.Sans faire intervenir (pour l'instant !) l'expression du polynôme P, tâche de simplifier le seul membre de gauche avec des éliminations de termes. Je ne remets pas les couleurs, quand même... @ toi !
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MMisty dernière édition par
La il me reste P(6)-P(1)
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Zauctore dernière édition par
Oui ! donc P(6) - P(1) = 1+2+3+4+5.
Et si on avait demandé de sommer 1+2+3+...+99+100 ?
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MMisty dernière édition par
Heu... P(101) - P(1)..... ?
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Zauctore dernière édition par
Bravo. Tu peux passer au cas général, en fonction de n, maintenant.
Que trouves-tu pour la somme 1+2+3+...+(n-1)+n ?
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MMisty dernière édition par
Euhhh la ... Je sais pas ^^ Ce que je pense ca peut pas etre ca
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Zauctore dernière édition par
Ne sois pas timide voyons : on est entre nous !
Alors avant de passer à n, voyons ce qu'on sait :
1+2+3+4+5 = P(6)-P(1)
1+2+3+...+99+100 = P(101)-P(1)
Si on écrit comme dans des posts précédents,
P(2)-P(1) + P(3)-P(2) + P(4)-P(3) + .... + P(n)-P(n-1) + P( ? )-P( ?? )
= 1+2+3 + ... + n-1 + nsauras-tu combler les "?" ?
et ensuite éliminer les termes qui sont opposés ?
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MMisty dernière édition par
...+P(n)-P(n-1)+P(n+1)-P(n) et ca fera sans doute (n-1)+n?
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Zauctore dernière édition par
Exact.
Maintenant, que donne l'élimination ?
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MMisty dernière édition par
P(4)-P(1)+(n-1)+n? Non??
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Zauctore dernière édition par
(1000 excuses, j'étais parti)
Tu as vu que le membre de gauche est
P(2)-P(1) + P(3)-P(2) + P(4)-P(3) + .... + P(n)-P(n-1) + P(n+1)-P(n)
On suppose bien entendu que n est un "grand" nombre, sinon, on calculerait à la main.
Tu as aussi vu les éliminations deux par deux, genre P(2) et -P(2). Il en va de même pour P(4) et -P(4), car il se cache dans les points de suspension. et ainsi de suite. Jusqu'à P(n) qui disparaît.
Il ne reste que deux termes ; lesquels ? Pour le vérifier, jette à nouveau un oeil à ce que tu as trouvé pour 1+2+3+4+5 et pour 1+2+...+100.
Courage, Misty !
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MMisty dernière édition par
Donc ca serait -P(1)+(n-1)+n alors...?
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Zauctore dernière édition par
Tu travailles sur le membre de gauche ; il y a forcément une lettre P dans chaque terme : sois plus rigoureuse.
Les P(n) disparaissent, sans doute aussi les P(n-1), etc.
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MMisty dernière édition par
Bah jvois pas... jvais encore dire des conneries ^^
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Zauctore dernière édition par
Ré-essaie avec l'exemple numérique de 1+2+3+4+...+10 000 pour voir.
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MMisty dernière édition par
Bah la ca fera P(10001)-P(1) je pense
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Zauctore dernière édition par
Exact.
Donc pour 1+2+3+...+n ?
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MMisty dernière édition par
P(n)-P(1)?
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Zauctore dernière édition par
Non, parce que n = P(n+1) - P(n). Donc ?
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MMisty dernière édition par
P(n+1)-P(n)-P(1)???
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Zauctore dernière édition par
Pas tout-à-fait. Vois :
P(2)-P(1) + P(3)-P(2) + P(4)-P(3) + ....+ P(n)-P(n-1) + P(n+1)
- P(n)
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MMisty dernière édition par
Euh... est ce qu'il pourrait rester (n-1)(n+1)?
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Zauctore dernière édition par
Mais non voyons.
Tu vois bien que tous les termes disparaissent sauf P(1) et P(n+1), non ?
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MMisty dernière édition par
Mais pourquoi??????????????!!!!! [ je sais c grave je suis un cas désespéré ^^ merci de ta patience ]
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Zauctore dernière édition par
C'est vrai qu'aujourd'hui, tu es un vrai défi pour moi ! Mais c'est pas grave, on va y arriver.
Il y a des termes opposés qui se simplifient deux à deux ; attends je scanne un truc.
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Zauctore dernière édition par
Alors... tu as pigé que P(2) - P(1) = 1, ... , P(n+1) - P(n) = n.
N'est-ce pas ? Donc :
- d'une part
- d'autre part
Tous les termes opposés se simplifient ; il n'y en a que deux qui n'ont pas d'opposé dans la longue somme : ce sont P(1) et P(n+1).
Voilà.
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MMisty dernière édition par
Lol merci j'avais pas remarqué que t'avais répondu! Mais ct tout bête en fait ^^ alors merci de ton aide!!! a++!
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Zauctore dernière édition par
désolé : ces enfoirés de mezimages.com vident leurs archives de temps en temps. évidemment.