HELP ! (suites :D )

Bonjour!
Je bloque sur un exercice car je ne comprend pas l'ennoncé , donc si vous pouviez m'aider ce serai sympas ^^.

On a : $u_{n+1}$ = $1/2u_n$ + n² + n => Relation [R]
en sachant que $u_0$ = a

Déterminez un polynôme du second degre P(x) de façon que la suite $a_n$ ) de terme général $a_n$ = P(n) vérifie la relation [R]

voilà donc si vous pouvez m'éclairer merci d'avance !

Bonjour,

commence par regarder ce qui se passe quand

n = 1
n = 2
n = 3

cela devrait te mettre sur une piste

j'ai essayé et donc je trouve

$u_1$ = a/2
$u_2$ = a/4 + 2
$u_3$ = a/8 + 7

Il semblerait que le premier terme soit $a/2^n$ mais je n'arrive pas à trouver de liens entre le 0 , le 2 , le 7

Il faut trouver un polynôme du second degre P(x) ; soit

P(x) = bx^2 + cx + d (il faut donc déterminer les coefficients b , c et d)

et ce pol^ynôme doit vérifier P(n) = an

donc
P(1) = b + c + d = a/2
P(2) = 4b + 2c + d = a/4 + 2

etc ...

ah oui c'est bon j'ai compris le truc , merci , j'avais vraiment un problème avec l'ennoncé , le $a_n$ me perturbait

Non en fait je n'ai pas compri , je m'y suis mi ce matin , j'ai fait comme vous m'avez dit , j'ai trouver les coefficent b , c et d mais en fait tout ce que j'arrive à faire c'est exprimer $u_n$ explicitement
j'ai P(n) : (a+8)/8×n² + (-5a - 8)/8xn + a voici mon polynome
b = (a+8)/8
c = (-5a - 8)/8
d = a
Mais en fait je me rend compte que l' on pourrait très bien écrire $u_n$ = (a+8)/8×n² + (-5a - 8)/8xn + a et c'est ce que l'on me demande à la derniere question d'exprimer $u_n$ en fonction de n et de a , je dois avoir sauter des étapes parce-que mon truc marche ..., enfin bref je bloque vraiment.

Reprenons :

tu as une relation de récurrrence [R] définie par
$u_0$ = a
et
$u_{n+1}$ = 1/2 $u_n$ + n² + n ... au fait c'est (1/2) $u_n$ ou 1/(2 $u_n$ ) ?

On a une série de nombres $a_n$ qui vérifient [R] donc
$a_0$ = a
$a_{n+1}$ = 1/2 $a_n$ + n² + n

On te demande de démontrer qi'un peut écrire $a_n$ sous la forme de P(n) ou P est un polynôme de degré 2

donc on veut que
$a_n$ = $bn^2$ + cn + d

Tu as trouvé b , c et d qui seraient valables pour les 3 premiers rangs .
Maintenant il faut montrer par récurrence que c'est vrai pour tout n

DOnc tu supposes que c'est vrai pour $a_n$ et tu montres que c'est encore vrai pour $a_{n+1}$

Ensuite on de demande de passer à $u_n$

Or $u_n$ suit la même relation de récurrence que $a_n$

donc tu en déduis un expression de $u_n$ en fonction de a et de n (c'est la même)

Mon exercice c'est:
$u_0$ = a
$u_{n+1}$ = (1/2) x $u_n$ + n² + n

Déterminez un polynôme du second degre P(x) de façon que la suite (an) de terme général an = P(n) vérifie la relation [R]

2)démontrer que la suite $v_n$ définie par $v_n$ = $u_n$ - $a_n$ est géometrique

Exprimez v(n) puis un(n) en fonction de a et n

La relation que j'ai trouvé c'est $u_n$ sous une forme explicite , tu es d'accord que quand ils me demande de démontrer que v(n) est géometrique. v(n) c'est $u_n$ - $a_n$ si je prend $v_1$ ça va faire $u_1$ - $a_1$ = 1/2×a - 1/2 x a = 0 . Le $a_n$ que j'ai trouvé c'est exactement l'expression $u_n$ mais de façon explicite or $a_n$ ≠ $u_n$ sinon ils n'auraient aucun interet à mettre une suite $v_n$ = $u_n$ - $a_n$

Tu comprend que quand je devrait démontrer que $v_n$ est géometrique je vais utiliser $v_1$ = $v_0$ q je vais forcement tomber ssur q = 0 ...

S'il vous plait je sais que je suis chiant mais j'ai vmt besoin d'aide lol

En effet j'ai pris le problème à l'envers .... j'ai lu trop vite

en fait on part de

$a_n$ = P(n) avec P polynôme de second degré donc

$a_n$ = a $n^2$ + b n + c

Il faut vérifier que la série des nombres $a_n$ suit la récurrence [R]

c'est à dire $a_0$ = P(0) = a (vrai au rang 0)

si $a_n$ = a $n^2$ + b n + c montrons alors que

$a_{n+1}$ = 1/2 $a_n$ + $n^2$ + n
or
$a_{n+1}$ = P(n+1) = $a(n+1)^2$ + b(n+1) + c

il faut montrer que c'est = 1/2 $a_n$ + $n^2$ + n

tu développes les 2 termes et tu dois trouver

Mais si l'on montre que que $a_{n+1}$ = 1/2 $a_n$ + n² + n , cela veut dire que $u_n$ = $a_n$ non ?
donc la suite $v_n$ dans la question 2) va etre nulle

BIn oui c'est ce qui me semble !! elles seront égales si elles ont le même terme de rang 0

Ce qui n'est pas forcément le cas !!

Non mais quand je cherche les coefficients ça donne un système pas possible . Et ça va forcement aboutir a $u_n$ = $a_n$ vu que l'on a admis que $a_0$ = a et c'est pas ce qu'ils demandent $a_n$ et $u_n$ sont completement differentes ... j'en ai marre j'ai l'impression de rien comprendre pourtant j'ai reussi tout le reste de mon DM sans probleme et là je bloque sur cet exercice vraiment ...

Je ne comprend pas comment tu affirmes $a_0$ = a ,

On n'a pas de coefficients à chercher ..... On pose que $a_n$ = P(n) où P est un polynôme du 2ème dégre donc par exemple

$a_n$ = $en^2$ + fn + g

donc $a_n$ n'est pas forcément égal à $u_n$ puis qu le $a_0$ n'est pas focément égal au $u_0$

Ils disent de le determiner le polynome c'est bien qu'on doit trouver les coefficients non ?

Ca y est j'ai compris et j'ai fini l'exercice , je suis vraiment un boulet ça a mis très longtemps à rentrer enfin bref merci.