HELP ! (suites :D )



  • Bonjour!
    Je bloque sur un exercice car je ne comprend pas l'ennoncé , donc si vous pouviez m'aider ce serai sympas ^^.

    On a : un+1u_{n+1} = 1/2un1/2u_n + n² + n => Relation [R]
    en sachant que u0u_0 = a

    Déterminez un polynôme du second degre P(x) de façon que la suite (an(a_n) de terme général ana_n = P(n) vérifie la relation [R]

    voilà donc si vous pouvez m'éclairer merci d'avance !



  • Bonjour,

    commence par regarder ce qui se passe quand

    n = 1
    n = 2
    n = 3

    cela devrait te mettre sur une piste



  • j'ai essayé et donc je trouve

    u1u_1 = a/2
    u2u_2 = a/4 + 2
    u3u_3 = a/8 + 7

    Il semblerait que le premier terme soit a/2na/2^n mais je n'arrive pas à trouver de liens entre le 0 , le 2 , le 7



  • Il faut trouver un polynôme du second degre P(x) ; soit

    P(x) = bx^2 + cx + d (il faut donc déterminer les coefficients b , c et d)

    et ce pol^ynôme doit vérifier P(n) = an

    donc
    P(1) = b + c + d = a/2
    P(2) = 4b + 2c + d = a/4 + 2

    etc ...



  • ah oui c'est bon j'ai compris le truc , merci , j'avais vraiment un problème avec l'ennoncé , le ana_n me perturbait



  • Non en fait je n'ai pas compri , je m'y suis mi ce matin , j'ai fait comme vous m'avez dit , j'ai trouver les coefficent b , c et d mais en fait tout ce que j'arrive à faire c'est exprimer unu_n explicitement
    j'ai P(n) : (a+8)/8×n² + (-5a - 8)/8xn + a voici mon polynome
    b = (a+8)/8
    c = (-5a - 8)/8
    d = a
    Mais en fait je me rend compte que l' on pourrait très bien écrire unu_n = (a+8)/8×n² + (-5a - 8)/8xn + a et c'est ce que l'on me demande à la derniere question d'exprimer unu_n en fonction de n et de a , je dois avoir sauter des étapes parce-que mon truc marche ..., enfin bref je bloque vraiment.



  • Reprenons :

    tu as une relation de récurrrence [R] définie par
    u0u_0 = a
    et
    un+1u_{n+1} = 1/2 unu_n + n² + n ... au fait c'est (1/2) unu_n ou 1/(2 unu_n) ?

    On a une série de nombres ana_n qui vérifient [R] donc
    a0a_0 = a
    an+1a_{n+1} = 1/2 ana_n + n² + n

    On te demande de démontrer qi'un peut écrire ana_n sous la forme de P(n) ou P est un polynôme de degré 2

    donc on veut que
    ana_n = bn2bn^2 + cn + d

    Tu as trouvé b , c et d qui seraient valables pour les 3 premiers rangs .
    Maintenant il faut montrer par récurrence que c'est vrai pour tout n

    DOnc tu supposes que c'est vrai pour ana_n et tu montres que c'est encore vrai pour an+1a_{n+1}

    Ensuite on de demande de passer à unu_n

    Or unu_n suit la même relation de récurrence que ana_n

    donc tu en déduis un expression de unu_n en fonction de a et de n (c'est la même)



  • Mon exercice c'est:
    u0u_0 = a
    un+1u_{n+1} = (1/2) x unu_n + n² + n

    1. Déterminez un polynôme du second degre P(x) de façon que la suite (an) de terme général an = P(n) vérifie la relation [R]

    2)démontrer que la suite vnv_n définie par vnv_n = unu_n - ana_n est géometrique

    1. Exprimez v(n) puis un(n) en fonction de a et n

    La relation que j'ai trouvé c'est unu_n sous une forme explicite , tu es d'accord que quand ils me demande de démontrer que v(n) est géometrique. v(n) c'est unu_n - ana_n si je prend v1v_1 ça va faire u1u_1 - a1a_1 = 1/2×a - 1/2 x a = 0 . Le ana_n que j'ai trouvé c'est exactement l'expression unu_n mais de façon explicite or ana_nunu_n sinon ils n'auraient aucun interet à mettre une suite vnv_n = unu_n - ana_n



  • Tu comprend que quand je devrait démontrer que vnv_n est géometrique je vais utiliser v1v_1 = v0v_0q je vais forcement tomber ssur q = 0 ...



  • S'il vous plait je sais que je suis chiant mais j'ai vmt besoin d'aide lol



  • En effet j'ai pris le problème à l'envers .... j'ai lu trop vite

    en fait on part de

    ana_n = P(n) avec P polynôme de second degré donc

    ana_n = a n2n^2 + b n + c

    Il faut vérifier que la série des nombres ana_n suit la récurrence [R]

    c'est à dire a0a_0 = P(0) = a (vrai au rang 0)

    si ana_n = a n2n^2 + b n + c montrons alors que

    an+1a_{n+1} = 1/2 ana_n + n2n^2 + n
    or
    an+1a_{n+1} = P(n+1) = a(n+1)2a(n+1)^2 + b(n+1) + c

    il faut montrer que c'est = 1/2 ana_n + n2n^2 + n

    tu développes les 2 termes et tu dois trouver



  • Mais si l'on montre que que an+1a_{n+1} = 1/2 ana_n + n² + n , cela veut dire que unu_n = ana_n non ?
    donc la suite vnv_n dans la question 2) va etre nulle



  • BIn oui c'est ce qui me semble !! elles seront égales si elles ont le même terme de rang 0

    Ce qui n'est pas forcément le cas !!



  • Non mais quand je cherche les coefficients ça donne un système pas possible . Et ça va forcement aboutir a unu_n = ana_n vu que l'on a admis que a0a_0 = a et c'est pas ce qu'ils demandent ana_n et unu_n sont completement differentes ... j'en ai marre j'ai l'impression de rien comprendre pourtant j'ai reussi tout le reste de mon DM sans probleme et là je bloque sur cet exercice vraiment ...



  • Je ne comprend pas comment tu affirmes a0a_0 = a ,



  • On n'a pas de coefficients à chercher ..... On pose que ana_n = P(n) où P est un polynôme du 2ème dégre donc par exemple

    ana_n = en2en^2+ fn + g

    donc ana_n n'est pas forcément égal à unu_n puis qu le a0a_0 n'est pas focément égal au u0u_0



  • Ils disent de le determiner le polynome c'est bien qu'on doit trouver les coefficients non ?



  • Ca y est j'ai compris et j'ai fini l'exercice , je suis vraiment un boulet ça a mis très longtemps à rentrer enfin bref merci.


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