HELP ! (suites :D )


  • Z

    Bonjour!
    Je bloque sur un exercice car je ne comprend pas l'ennoncé , donc si vous pouviez m'aider ce serai sympas ^^.

    On a : un+1u_{n+1}un+1 = 1/2un1/2u_n1/2un + n² + n => Relation [R]
    en sachant que u0u_0u0 = a

    Déterminez un polynôme du second degre P(x) de façon que la suite (an(a_n(an) de terme général ana_nan = P(n) vérifie la relation [R]

    voilà donc si vous pouvez m'éclairer merci d'avance !


  • Zorro

    Bonjour,

    commence par regarder ce qui se passe quand

    n = 1
    n = 2
    n = 3

    cela devrait te mettre sur une piste


  • Z

    j'ai essayé et donc je trouve

    u1u_1u1 = a/2
    u2u_2u2 = a/4 + 2
    u3u_3u3 = a/8 + 7

    Il semblerait que le premier terme soit a/2na/2^na/2n mais je n'arrive pas à trouver de liens entre le 0 , le 2 , le 7


  • Zorro

    Il faut trouver un polynôme du second degre P(x) ; soit

    P(x) = bx^2 + cx + d (il faut donc déterminer les coefficients b , c et d)

    et ce pol^ynôme doit vérifier P(n) = an

    donc
    P(1) = b + c + d = a/2
    P(2) = 4b + 2c + d = a/4 + 2

    etc ...


  • Z

    ah oui c'est bon j'ai compris le truc , merci , j'avais vraiment un problème avec l'ennoncé , le ana_nan me perturbait


  • Z

    Non en fait je n'ai pas compri , je m'y suis mi ce matin , j'ai fait comme vous m'avez dit , j'ai trouver les coefficent b , c et d mais en fait tout ce que j'arrive à faire c'est exprimer unu_nun explicitement
    j'ai P(n) : (a+8)/8×n² + (-5a - 8)/8xn + a voici mon polynome
    b = (a+8)/8
    c = (-5a - 8)/8
    d = a
    Mais en fait je me rend compte que l' on pourrait très bien écrire unu_nun = (a+8)/8×n² + (-5a - 8)/8xn + a et c'est ce que l'on me demande à la derniere question d'exprimer unu_nun en fonction de n et de a , je dois avoir sauter des étapes parce-que mon truc marche ..., enfin bref je bloque vraiment.


  • Zorro

    Reprenons :

    tu as une relation de récurrrence [R] définie par
    u0u_0u0 = a
    et
    un+1u_{n+1}un+1 = 1/2 unu_nun + n² + n ... au fait c'est (1/2) unu_nun ou 1/(2 unu_nun) ?

    On a une série de nombres ana_nan qui vérifient [R] donc
    a0a_0a0 = a
    an+1a_{n+1}an+1 = 1/2 ana_nan + n² + n

    On te demande de démontrer qi'un peut écrire ana_nan sous la forme de P(n) ou P est un polynôme de degré 2

    donc on veut que
    ana_nan = bn2bn^2bn2 + cn + d

    Tu as trouvé b , c et d qui seraient valables pour les 3 premiers rangs .
    Maintenant il faut montrer par récurrence que c'est vrai pour tout n

    DOnc tu supposes que c'est vrai pour ana_nan et tu montres que c'est encore vrai pour an+1a_{n+1}an+1

    Ensuite on de demande de passer à unu_nun

    Or unu_nun suit la même relation de récurrence que ana_nan

    donc tu en déduis un expression de unu_nun en fonction de a et de n (c'est la même)


  • Z

    Mon exercice c'est:
    u0u_0u0 = a
    un+1u_{n+1}un+1 = (1/2) x unu_nun + n² + n

    1. Déterminez un polynôme du second degre P(x) de façon que la suite (an) de terme général an = P(n) vérifie la relation [R]

    2)démontrer que la suite vnv_nvn définie par vnv_nvn = unu_nun - ana_nan est géometrique

    1. Exprimez v(n) puis un(n) en fonction de a et n

    La relation que j'ai trouvé c'est unu_nun sous une forme explicite , tu es d'accord que quand ils me demande de démontrer que v(n) est géometrique. v(n) c'est unu_nun - ana_nan si je prend v1v_1v1 ça va faire u1u_1u1 - a1a_1a1 = 1/2×a - 1/2 x a = 0 . Le ana_nan que j'ai trouvé c'est exactement l'expression unu_nun mais de façon explicite or ana_nanunu_nun sinon ils n'auraient aucun interet à mettre une suite vnv_nvn = unu_nun - ana_nan


  • Z

    Tu comprend que quand je devrait démontrer que vnv_nvn est géometrique je vais utiliser v1v_1v1 = v0v_0v0q je vais forcement tomber ssur q = 0 ...


  • Z

    S'il vous plait je sais que je suis chiant mais j'ai vmt besoin d'aide lol


  • Zorro

    En effet j'ai pris le problème à l'envers .... j'ai lu trop vite

    en fait on part de

    ana_nan = P(n) avec P polynôme de second degré donc

    ana_nan = a n2n^2n2 + b n + c

    Il faut vérifier que la série des nombres ana_nan suit la récurrence [R]

    c'est à dire a0a_0a0 = P(0) = a (vrai au rang 0)

    si ana_nan = a n2n^2n2 + b n + c montrons alors que

    an+1a_{n+1}an+1 = 1/2 ana_nan + n2n^2n2 + n
    or
    an+1a_{n+1}an+1 = P(n+1) = a(n+1)2a(n+1)^2a(n+1)2 + b(n+1) + c

    il faut montrer que c'est = 1/2 ana_nan + n2n^2n2 + n

    tu développes les 2 termes et tu dois trouver


  • Z

    Mais si l'on montre que que an+1a_{n+1}an+1 = 1/2 ana_nan + n² + n , cela veut dire que unu_nun = ana_nan non ?
    donc la suite vnv_nvn dans la question 2) va etre nulle


  • Zorro

    BIn oui c'est ce qui me semble !! elles seront égales si elles ont le même terme de rang 0

    Ce qui n'est pas forcément le cas !!


  • Z

    Non mais quand je cherche les coefficients ça donne un système pas possible . Et ça va forcement aboutir a unu_nun = ana_nan vu que l'on a admis que a0a_0a0 = a et c'est pas ce qu'ils demandent ana_nan et unu_nun sont completement differentes ... j'en ai marre j'ai l'impression de rien comprendre pourtant j'ai reussi tout le reste de mon DM sans probleme et là je bloque sur cet exercice vraiment ...


  • Z

    Je ne comprend pas comment tu affirmes a0a_0a0 = a ,


  • Zorro

    On n'a pas de coefficients à chercher ..... On pose que ana_nan = P(n) où P est un polynôme du 2ème dégre donc par exemple

    ana_nan = en2en^2en2+ fn + g

    donc ana_nan n'est pas forcément égal à unu_nun puis qu le a0a_0a0 n'est pas focément égal au u0u_0u0


  • Z

    Ils disent de le determiner le polynome c'est bien qu'on doit trouver les coefficients non ?


  • Z

    Ca y est j'ai compris et j'ai fini l'exercice , je suis vraiment un boulet ça a mis très longtemps à rentrer enfin bref merci.


Se connecter pour répondre